Wie n aus (366-n)! ausklammern?

09.04.2016, 17:38

Dmath

Wie n aus (366-n)! ausklammern?

Meine Frage:
Es ist das Geburtstagsproblem:
Wie viele Leute müssen im Raum sein, damit die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Leute am selben Tag Geburtstag haben $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0.5 ist?

Meine Ideen:
Ich ging von 366 Geburtstagen aus und bin schlussendlich auf Folgendes gekommen:
p("Alle haben an unterschiedlichen Tagen Geburtstag") = $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{366!}{(366-n!)}}{366^n} \end{eqnarray*}$

Um jetzt p("Mind. 2 Leute am selben Tag Geburtstag") herauszufinden, muss man:
$\begin{eqnarray*} 1 - p("Alle An Unterschiedlichen Tagen Geburtstag") \end{eqnarray*}$
machen.
Das Problem, das ich habe, ist nicht die unbedingt die Vorgehensweise selber, sondern das Herausklammern von n. Wie komme ich nicht-numerisch an n heran?

Ich kriege n nicht heraus, wie sehr ich auch denke.

Danke vielmals

09.04.2016, 18:00

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dmath
Ich ging von 366 Geburtstagen aus und bin schlussendlich auf Folgendes gekommen:
p("Alle haben an unterschiedlichen Tagen Geburtstag") = $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{366!}{(366-n!)}}{366^n} \end{eqnarray*}$

Man kann das ganze auch so schreiben:

$\begin{align*} p(n) = \prod_{k=0}^{n-1} \frac{366-k}{366} \end{align*}$ ,

d.h. es ist rekursiv $\begin{align*} p(n+1) = \frac{366-n}{366}\cdot p(n) \end{align*}$ . Wir suchen nun das kleinste $\begin{align*} n \end{align*}$ mit $\begin{align*} p(n)\leq 0.5 \end{align*}$ :

Angefangen mit $\begin{align*} p(1)=1 \end{align*}$ rechnet man eben gemäß dieser Rekursion solange, bis das Ziel $\begin{align*} p(n)\leq 0.5 \end{align*}$ erreicht ist.

09.04.2016, 18:29

dmath

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dh also
Nach wie vor ist es also nicht möglich, nicht-numerisch an das Ganze heranzugehen? Es ist und bleibt ein Probieren..?
Danke für die Antwort

10.04.2016, 09:45

HAL 9000

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RE: dh also
Man kann die für $\begin{align*} 0\leq x_k\leq 1 \end{align*}$ gültige Ungleichung $\begin{align*} \prod_k (1-x_k) \geq 1-\sum_k x_k \end{align*}$ hier nutzen, um zumindest eine untere Schranke für $\begin{align*} n \end{align*}$ zu finden:

$\begin{align*} p(n) = \prod_{k=0}^{n-1} \left(1- \frac{k}{366}\right) \geq 1- \frac{1}{366}\sum_{k=0}^{n-1} k = 1-\frac{n(n-1)}{366} \end{align*}$ .

Die Forderung $\begin{align*} p(n)\leq \frac{1}{2} \end{align*}$ führt dann notwendig zu

$\begin{align*} \frac{1}{2} \geq 1-\frac{n(n-1)}{366} \end{align*}$ , umgestellt zu $\begin{align*} n\geq \frac{\sqrt{733}+1}{2}\approx 14.03 \end{align*}$ , also $\begin{align*} n\geq 15 \end{align*}$ .

Viel mehr ist so ohne weiteres nicht drin, der Rest ist am einfachsten tatsächlich wie oben beschrieben Tippel-Tappel-Tour zu ermitteln.

Zitat:

Original von dmath
Es ist und bleibt ein Probieren..?

Sagen wir "systematisches Probieren": Man weiß immerhin, dass $\begin{align*} n\mapsto p(n) \end{align*}$ monoton fallend ist, und man so durch dieses "Probieren" sicher die richtige Lösung ermittelt. Insofern ist das keine Methode, über die man die Nase rümpfen muss. Augenzwinkern

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