Normen-Ungleichung beweisen

09.04.2016, 21:14

cmplx96

Normen-Ungleichung beweisen

Hallo zusammen,

wie kann man beweisen, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} ||\vec{x}||_{\infty} \leq ||\vec{x}||_{2} \leq ||\vec{x}||_{1} \end{eqnarray*}$
?

Reicht es zu sagen,

$\begin{eqnarray*} ||\vec{x}||_{\infty} = \max_{1 \leq k \leq n} |x_{k}| \leq (\sum\limits_{i=1}^{n} (x_{i})^{2} )^{\frac{1}{2}} = ||\vec{x}||_{2} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} ||\vec{x}||_{2} = (\sum\limits_{i=1}^{n} (x_{i})^{2} )^{\frac{1}{2}} \leq \sum\limits_{k=1}^{n} |x_{k} | = ||\vec{x}||_{1} \end{eqnarray*}$
?

Danke im Voraus!
LG cmplx96

09.04.2016, 21:28

10001000Nick1

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RE: Normen-Ungleichung beweisen

Zitat:

Original von cmplx96
Reicht es zu sagen,
[...]

Nein; oder siehst du da irgendwo einen Beweis? Du hast bis jetzt nur die Behauptung hingeschrieben.

Für die zweite Ungleichung nutze die Subadditivität der Quadratwurzel.

10.04.2016, 11:57

cmplx96

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erstmal danke für die Antwort!
Eine Frage zur Subadditivität:
Auf Wikipedia (https://de.wikipedia.org/wiki/Additivität) steht unter "Sub- und Superadditivität":
subadditiv ist:
$\begin{eqnarray*} f(x+y) \leq f(x) + f(y) \end{eqnarray*}$
und superadditiv ist:
$\begin{eqnarray*} f(x+y) \geq f(x) + f(y) \end{eqnarray*}$
Und dahinter: "Eine Abbildung ist genau dann additiv, wenn sie sowohl sub- als auch superadditiv ist."
Aber wie können diese Eigenschaften gleichzeitig gelten?
Und wie genau kann ich das einsetzen?

Anderer Ansatz:
$\begin{eqnarray*} max(|x_{1}|,...,|x_{n}|) \leq \sqrt{x_{1}^{2} + ... + x_{n}^{2}} \end{eqnarray*}$
Wenn man es so aufschreibt, ist es eigentlich offensichtlich.
Bei der Maximumnorm wird ja nur der Betrag des größten x genommen. Wohingegen bei der Euklidischen Norm die Wurzel der Summe aller x zum Quadrat genommen wird (wo das größte x auch dabei ist).
Ich weiß, dass ist mathematisch nicht formal aber ich weiß nicht, wie ich das anders ausdrücken kann.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x_{1}^{2} + ... + x_{n}^{2}} \leq |x_{1}| + ... + |x_{n}| \end{eqnarray*}$

Und hier müsste man zeigen, dass eine Summe immer größer ist, als die Wurzel dieser Summe mit den einzelnen Summanden zum Quadrat.
Hat das was mit der Subadditivität zu tun?

10.04.2016, 21:13

10001000Nick1

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Zitat:

Original von cmplx96
Und dahinter: "Eine Abbildung ist genau dann additiv, wenn sie sowohl sub- als auch superadditiv ist."
Aber wie können diese Eigenschaften gleichzeitig gelten?

Das bedeutet einfach, dass $\begin{eqnarray*} f(x+y)=f(x)+f(y) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von cmplx96
Ich weiß, dass ist mathematisch nicht formal aber ich weiß nicht, wie ich das anders ausdrücken kann.

Vielleicht so: $\begin{eqnarray*} \max(|x_1|, ..., |x_n|)=\sqrt{\max(|x_1|, ..., |x_n|)^2}=\sqrt{\max(x_1^2, ..., x_n^2)}\leq \sqrt{x_1^2+...+x_n^2} \end{eqnarray*}$ (wobei die letzte Ungleichung aus der Monotonie der Wurzel folgt).

Zitat:

Original von cmplx96
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x_{1}^{2} + ... + x_{n}^{2}} \leq |x_{1}| + ... + |x_{n}| \end{eqnarray*}$

Und hier müsste man zeigen, dass eine Summe immer größer ist, als die Wurzel dieser Summe mit den einzelnen Summanden zum Quadrat.
Hat das was mit der Subadditivität zu tun?

Ja, es gilt für alle $\begin{eqnarray*} a,b\geq 0: \sqrt{a+b}\leq \sqrt{a}+\sqrt{b} \end{eqnarray*}$ . (Das ist die Subadditivität.)
Versuche, diese Aussage per Induktion auf $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nicht-negative Summanden zu verallgemeinern. Das benutzt du dann, um die Ungleichung zu zeigen.

11.04.2016, 20:22

cmplx96

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alles klar, vielen dank!

13.04.2016, 10:45

zFABU

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Für die zweite Ungleichung könnte man auch schreiben: o.B.d.A sei $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ der betragsgrößte Eintrag. Dann gilt (, da n insbesondere aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{N}_{\geq 1} \end{eqnarray*}$ ist)

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x_1^2+\ldots+x_n^2}\leq \sqrt{n\cdot x_1^2}=\sqrt{n}\cdot\sqrt{x_1^2}\leq |x_1| =max\{|x_1|,\ldots,|x_n|\} \end{eqnarray*}$

13.04.2016, 17:26

10001000Nick1

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Zitat:

Original von zFABU
$\begin{eqnarray*} \sqrt{n}\cdot\sqrt{x_1^2}\leq |x_1| \end{eqnarray*}$

Wieso sollte das gelten?

Du versuchst da gerade zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \|x\|_2\leq \|x\|_\infty \end{eqnarray*}$ ist. Da es aber genau andersherum ist, kann das nichts werden.

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