Teilbarkeit, Primzahlen

10.04.2016, 11:51

Shizmo

Teilbarkeit, Primzahlen

Hallo!

Zitat:

Zeigen Sie, dass aus $\begin{eqnarray*} p | a \cdot b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p\not| b \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} p|a \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} p \in \mathbb{P} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a,b, \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ . Lässt sich die obige Aussage auf beliebige ganze Zahlen $\begin{eqnarray*} p \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ verallgemeinern?

Dass wenn p a*b teilt und p nicht b teilt, dann p a teilt, ist eigentlich klar, denn wenn er einen Faktor davon teilt, dann muss er ja auch das Produkt teilen. Aber wie "zeige" ich das ganze?

Und zum zweiten Teil der Frage, würde ich mal behaupten, dass es sich für beliebige ganze Zahlen, außer 0, verallgemeinern lässt, zB 6 teilt 12, aber 6 teilt nicht 5, 6 teilt aber trotzdem 12*5=60.

LG

10.04.2016, 12:01

Elvis

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Weißt Du schon, dass der Ring der ganzen Zahlen faktoriell ist, dass also jede ganze Zahl eine im Wesentlichen (modulo Einheiten und Reihenfolge) eindeutige Primfaktorzerlegung hat ? Damit lässt sich der 1. Teil beweisen.
Eigentlich geht man in der Theorie der Teilbarkeit in Ringen anders vor und definiert Primelemente durch die Eigenschaft " $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ heißt prim falls $\begin{eqnarray*} p|ab\Rightarrow p|a \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} p|b \end{eqnarray*}$ "
Damit ist aber auch klar, dass diese Eigenschaft im allgemeinen nicht gilt. Sie gilt eben nur für Primelemente.

10.04.2016, 12:18

Shizmo

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Erstmals vielen Dank für deine Antwort!

Zitat:

Original von Elvis
Weißt Du schon, dass der Ring der ganzen Zahlen faktoriell ist, dass also jede ganze Zahl eine im Wesentlichen (modulo Einheiten und Reihenfolge) eindeutige Primfaktorzerlegung hat ? Damit lässt sich der 1. Teil beweisen.

Also ich weiß zB:
3 | 420 weil 3 | 6*2*7*5 also 3 muss zumindest einen von diesen Faktoren teilen (hier 6).
Und ich weiß auch, dass ich eine Zahl faktorisieren kann, zB:
$\begin{eqnarray*} 80 = 2^1*40=2^2*20=2^3*10=2^4*5 \end{eqnarray*}$

Jedoch weiß ich nicht, ob mir das was hilft, ich habe einfach immer Probleme mit dem beweisen, jedes mal denke ich mir wieder, wie fange ich so einen Beweis denn an, wie soll so ein Beweis ausschauen, dass er passt.

Zitat:

Original von Elvis
Damit ist aber auch klar, dass diese Eigenschaft im allgemeinen nicht gilt. Sie gilt eben nur für Primelemente.

Hmm, Gegenbeispiel? Big Laugh

10.04.2016, 12:31

Nofeykx

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Du hast die Aussage komplett falsch verstanden. Es geht nicht darum, dass, wenn p einen der Faktoren teilt, dann p auch das Produkt teilt, sondern genau umgekehrt! Wenn p das Produkt teilt, dann teilt p auch bereits einen der Faktoren.

Dass das nicht für beliebige p richtig ist, kannst du dir schön selbst überlegen Augenzwinkern

10.04.2016, 13:46

Elvis

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Beispiele zu kennen ist immer nützlich, wenn man eine Aussage widerlegen will, genügt ein Gegenbeispiel. Wenn man eine Aussage beweisen will, nützt ein Beispiel gar nichts, dann muss man aus bekannten Definitionen und Sätzen durch logische Schlüsse die Behauptungen ableiten.
Der Ring der ganzen rationalen Zahlen ist faktoriell, jede ganze Zahl hat die Form $\begin{eqnarray*} \pm p_1...p_r \end{eqnarray*}$ mit eindeutig bestimmten Primzahlen. Eine Primzahl teilt genau dann eine Zahl, wenn es einer der Primfaktoren ist (Beweis ?). Für eine Nichtprimzahl gilt das eben nicht (Gegenbeispiel ?).

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