Vektorprodukt von lin. abh. Vektoren = 0

10.04.2016, 17:32

MatheN00bine

Vektorprodukt von lin. abh. Vektoren = 0

Aufgabe:
Beweisen sie, dass die Determinanten Darstellung des Vektorprodukts auch die Berechnung für linear abhängige Vektoren richtig berechnet, also beweisen sie die Aussage:
Das Vektorprodukt zweier linear abhängiger Vektoren in der Determinantendarstellung ist immer gleich dem Nullvektor.

Meine Idee bislang ist, dass wenn die Vektoren linear abhängig sind, ich den einen aus dem anderen erzeugen kann und deshalb in der Determinante eine Nullzeile erzeugen kann (Rechenregeln). Mit Nullzeile ergibt sich dann, dass das Ganze Null wird.

Reicht das hier schon oder muss ich noch zeigen, dass wenn die Determinante Null ist, die Vektoren linear abhängig sind? Und wenn ja, wie? Ich hab da noch keine richtige Idee... unglücklich

10.04.2016, 21:03

mYthos

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Mir ist nicht klar, welche Determinante du meinst, welche Null werden kann.
In der Determinantendarstellung der Komponenten des Kreuzproduktes gibt es 3 zweireihige Determinanten und ALLE diese werden zu Null, falls die Vektoren linear abhängig sind.
Es gibt auch eine dreireihige Determinante, in der allerdings die Einheitsvektoren eingetragen sind*

2 linear abhängige Vektoren sind kollinear, d.h. sie sind parallel/liegen in einer Geraden.
Demzufolge schließen sie einen Winkel von 0 oder 180° ein. Der Betrag ihres Vektorproduktes ist wegen

$\begin{eqnarray*} |\vec a \times \vec b| = |\vec a| |\vec b| \sin \varphi \end{eqnarray*}$

ebenfalls gleich Null.

(*) Die Determinantendarstellung des Produktvektors

$\begin{eqnarray*} \vec a \times \vec b = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & \vec{e_1} \\ a_2 & b_2 & \vec{e_2} \\ a_3 & b_3 & \vec{e_3} \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

enthält die beiden Vektoren als Spaltenvektoren und die drei Einheitsvektoren.
Bei der Entwicklung dieser Determinante nach den Elementen der 3. Spalte ergeben sich nun tatsächlich zweireihige Determinanten mit Nullzeilen bzw. ihrem Wert gleich Null.
(Das solltest du vielleicht noch genauer begründen)

Wie ist es nun mit der Umkehrung (falls du dies auch beweisen sollst)?

mY+

11.04.2016, 11:00

MatheN00bine

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Zitat:

Original von mYthos
In der Determinantendarstellung der Komponenten des Kreuzproduktes gibt es 3 zweireihige Determinanten und ALLE diese werden zu Null, falls die Vektoren linear abhängig sind.
Es gibt auch eine dreireihige Determinante, in der allerdings die Einheitsvektoren eingetragen sind*

(*) Die Determinantendarstellung des Produktvektors

$\begin{eqnarray*} \vec a \times \vec b = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & \vec{e_1} \\ a_2 & b_2 & \vec{e_2} \\ a_3 & b_3 & \vec{e_3} \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

enthält die beiden Vektoren als Spaltenvektoren und die drei Einheitsvektoren.
Bei der Entwicklung dieser Determinante nach den Elementen der 3. Spalte ergeben sich nun tatsächlich zweireihige Determinanten mit Nullzeilen bzw. ihrem Wert gleich Null.
(Das solltest du vielleicht noch genauer begründen)

Wie ist es nun mit der Umkehrung (falls du dies auch beweisen sollst)?

mY+

Ja genau das was du da beschreibst meinte ich. es wird null weil beim ausschreiben $\begin{eqnarray*} \left(a_2 \cdot 0 + a_3 \cdot 0\right) \cdot e_1 \end{eqnarray*}$ etc rauskommt. tut mir leid, wenn es unklar war. hab noch meine schwierigkeiten mit latex und habs nicht hinbekommen, das vernünftig zu machen...

Ich glaube jetzt verstehe ich auch, wie man auf die Umkehrung kommt. geschockt

$\begin{eqnarray*} \left(a_2b_3 - a_3b_2\right )\cdot e_1 + \left(a_3b_2 - a_2b_1\right) \cdot e_2 + \left(a_1b_2 - a_2b_1\right) \cdot e_3 = 0 \end{eqnarray*}$
Da e die einheitsvektoren sind und linear unabhängig, kann das ganze nur Null werden, wenn jeweils das in allen drei Klammern Null ist, also
$\begin{eqnarray*} a_2b_3 = a_3b_2 \end{eqnarray*}$
und für die beiden anderen Klammern analog.

Durch Umstellen wird daraus:
$\begin{eqnarray*} \frac{b_3}{b_2} = \frac{a_3}{a_2} \end{eqnarray*}$
und das kann ja nur gelten, wenn die Brüche gleich sind bzw der eine erweitert den anderen ergibt, aaaalso, wenn ich das für alle Gleichungen mache, genau dann wenn die Vektoren linear abhängig sind!!! Big Laugh

11.04.2016, 11:34

MatheN00bine

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Zitat:

Original von MatheN00bine

Durch Umstellen wird daraus:
$\begin{eqnarray*} \frac{b_3}{b_2} = \frac{a_3}{a_2} \end{eqnarray*}$
und das kann ja nur gelten, wenn die Brüche gleich sind bzw der eine erweitert den anderen ergibt, aaaalso, wenn ich das für alle Gleichungen mache, genau dann wenn die Vektoren linear abhängig sind!!! Big Laugh

Mist da ist noch ein Problem mit Nulldivision...
Also fürs Umstellen gelte die Annahme, dass keine der Komponenten Null sei.

Ansonsten, wenn ich annehme, eine der Komponenten ist Null, bekomme ich durch umstellen und Aussagen wie $\begin{eqnarray*} a_2 = 0 \vee b_1 =0 \end{eqnarray*}$ am ende auf entweder den Nullvektor für einen oder, dass a und b in denselben Komponenten Null sind und in denen die ungleich Null sind, sie wieder Vielfache voneinander sind, also linear abhängig....

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