Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichte

11.04.2016, 23:18	Silentg	Auf diesen Beitrag antworten »
Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichte Hallo zusammen, Ich soll beweisen, das folgende Funktion eine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichte ist. $\begin{eqnarray} f(x,y)= 4\left(x+y^{2} \right) , 0\leq x\leq 1 , x-1\leq y\leq 0 \end{eqnarray}$ Könnt Ihr bitte noch einmal über meine Rechnung gucken. Ich bin mir nicht sicher, ob alles richtig ist. $\begin{eqnarray} \int_{-\infty }^{\infty } \! \int_{-\infty }^{\infty } \! f(x,y) \, dy \, dx =4 \int_{0}^{1} \! \int_{x-1}^{0} \! \left(x+y^{2} \right) \, dy \, dx <br /> <br /> = 4\int_{0}^{1} \! \left[xy+\frac{y^{3} }{3} \right]_{x-1}^{0} \, dx = 4\int_{0}^{1} \! \ \left(-x(x-1)-\frac{(x-1)^{3} }{3} \right) \, dx <br /> \end{eqnarray}$ Soweit so gut... jetzt tue ich mich allerdings etwas schwerer. Deswegen gehe ich alles noch haarklein durch. Dazu trenne ich das Integral in: $\begin{eqnarray} -4\int_{0}^{1} \! \left(x^{2}-x \right) \, dx \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{-4}{3} \int_{0}^{1} \! (x-1)^{3} \, dx \end{eqnarray}$ auf. Das erste Integral teile ich dann noch einmal in: $\begin{eqnarray} -4\int_{0}^{1} \! x^{2} \, dx = -4\left[\frac{1}{3}x^{3} \right]_{0}^{1} \Rightarrow -\frac{4}{3} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} -4\int_{0}^{1} \! x \, dx =-4\left[\frac{1}{2}x^{2} \right]_{0}^{1} \Rightarrow -2 \end{eqnarray}$ auf. Das zweite integral rechne ich mit der Substitustionsregel aus: $\begin{eqnarray} -\frac{4}{3}\int_{0}^{1} \! (x-1)^{3} \, dx \Rightarrow -\frac{4}{3} \left[\frac{(x-1)^{4} }{4} \right]_{0}^{1} \Rightarrow -\frac{1}{3}\left[(x-1)^{4} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} \end{eqnarray}$ Als Ergebnis müsste dann $\begin{eqnarray} \frac{2}{3}+\frac{1}{3} =1 \end{eqnarray}$ rauskommen. Gruß Silent
12.04.2016, 02:03	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann keinen Fehler entdecken
15.05.2016, 20:12	Silentg	Auf diesen Beitrag antworten »
So ich muss das Thema noch einmal hervorholen. Ich soll jetzt mit der Funktion weiter rechnen. Es geht zwar in erster Linie um Stochastik aber ich hoffe, ihr könnt mir hier trotzdem helfen. Und zwar soll ich nun den Erwartungswert berechnen. Dazu muss ich jedoch erst einmal die Randdichte bestimmen. Das geht mit der folgenden Formel: $\begin{eqnarray} = \int_{-\infty }^{\infty } \! f(x,y) \, dy \Rightarrow 4\int_{XX}^{XX} \! \left(x+y^{2} \right) \, dy \end{eqnarray}$ Das Problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich auf die Grenzen komme. Im ersten Post stehen die Intervalle allerdings komme ich damit nicht so richtig weiter. Obwohl eigentlich kann ich das Ganze ja dort noch halbwegs nachvollziehen. Nur um weiter zu rechnen, muss ich ebenfalls ein Intervall für die Randdichte angeben und da hapert es dann doch gewaltig. Gruß Silentg

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