Beweisen eines euklidischen Ringes

12.04.2016, 09:29

Seims

Beweisen eines euklidischen Ringes

Hallo,
ich brauche Hinweise zum Lösen einer Teilaufgabe aus meinem aktuellen Übungszettel.
Hier ist die Aufgabe:

Es sei $\begin{eqnarray*} R := \{a+ib \in \mathbb{C}| a,b \}\in \mathbb{Z}\} \subseteq \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ . Es sei $\begin{eqnarray*} \delta : R\setminus\{0\} \rightarrow \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gegeben durch $\begin{eqnarray*} \delta (a+ib)=a^2 + b^2 \end{eqnarray*}$ . Allgemeiner definieren wir für beliebige $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb{Q}, \delta (a+ib)=a^2+b^2 \end{eqnarray*}$ . Ziel dieser Aufgabe ist es zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ ein euklidischer Ring ist.

Man zeige, dass $\begin{eqnarray*} \delta ((a+ib)(c+id)) = \delta (a+ib) \delta (c+id) \end{eqnarray*}$ gilt für alle $\begin{eqnarray*} a,b,c,d \in \mathbb{Q}. \end{eqnarray*}$ .
Man zeige, dass für alle $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} q \in R \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} \delta (a+ib-q) \le \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .
Man schließe aus den vorherigen Aufgabenteilen, dass $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ ein euklidischer Ring ist.
Es sei $\begin{eqnarray*} A=3 +5i, B=1+2i \in R \end{eqnarray*}$ . Man finde $\begin{eqnarray*} q,r \in R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A=qB +r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \delta (r) < \delta(B) \end{eqnarray*}$ .

Meine bisherigen Lösungen dazu:
Ich habe 1. gelöst, das war recht unproblematisch.
Bei 2. erhalte ich $\begin{eqnarray*} q \le \frac{1}{2}(2a+\sqrt{2} \sqrt{1-2b^2}) \end{eqnarray*}$ .
Bei 4. erhalte ich $\begin{eqnarray*} q = \frac{13}{5}-\frac{1}{5}i \end{eqnarray*}$ .
Ich halte das für unproblematisch und habe das nur des Kontexts wegen mit erwähnt.
Meine eigentliches Problem ist:

Wie gehe ich an die 3. heran? Die Definitionen, die ich zum euklidischen Ring gefunden habe helfen mir nicht wirklich. Ich sehe nicht, wo ich da jetzt Division mit Rest einbringen kann. Ich bin allen Hinweisen dankbar. Gott

12.04.2016, 10:25

tatmas

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Hallo,

Zitat:

$\begin{eqnarray*} R := \{a+ib \in \mathbb{C}| a,b \}\in \mathbb{Z}\} \subseteq \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ .

Wie soll denn $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}| a,b \} \end{eqnarray*}$ Element der ganzen Zahlen sein?
Was ist das überhaupt?

Was soll dieses R überhaupt sein, wo leben denn a und b?
So habt ihr das sicher nicht auf dem Übungszettel stehen.

Wahrscheinlich sollen a,b ganzzahlig sein, also $\begin{eqnarray*} R= \mathbb Z [i] \end{eqnarray*}$ .

2. q ist eine komplexe Zahl. Daher macht kleiner-gleich hier keinerlei Sinn. Und wie soll eine Ungleichung die Existenz von q zeigen?

4. Ich vermute stark, dass diese q nicht in R liegt (s.o.)

3. Welche Def. verwendet ihr denn?

12.04.2016, 10:48

Seims

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$\begin{eqnarray*} R := \{ a + ib \in \mathbb{C}\ |\ a,b \in \mathbb{Z}\} \end{eqnarray*}$

2. Weiß ich leider nicht

4. Stimmt, da schau ich nochmal rüber

3. Ein Integritätsbereich $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ heißt euklidischer Ring, wenn es eine Funktion $\begin{eqnarray*} \delta : R \rightarrow \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gibt, sodass für $\begin{eqnarray*} y \neq 0, x,y \in R\ \exists q,r \in R \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} x=qy+r, r=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \delta (r) < \delta (y) \end{eqnarray*}$ .

12.04.2016, 10:55

tatmas

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So macht R mehr Sinn (auch wenn das $\begin{eqnarray*} \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ redundant ist)

2. Dann musst du dir wohl überlegen wie das wirklich geht.
Bei der Aufgabe hilft geometrische Anschauung sehr gut.

3. Da ist ja nicht mehr viel zu machen. Du hast das $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ bereits gegeben.
Tipp: x/y-q=r/y und die 2. (und dann noch die 1.)

13.04.2016, 12:25

Seims

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Hallo,
ich hab weitergeforscht und hier sind meine Erkenntnisse:

4. 3+5i = (1+2i) * (3+ 0i) - i

Bei 2. habe ich inzwischen Verstanden, dass $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ im Zusammenhang mit dem Abstand zweier komplexer Zahlen steht. Aber wie beweise ich daraus, dass $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ existiert?

Dementsprechend habe ich auch 3. noch nicht lösen können. Ich versteh einfach nicht, wie ich 2. da einsetzen soll?

13.04.2016, 18:00

tatmas

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$\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ ist das Quadrat des komplexen Betrags, der hoffentlich bereits bekannt.
Dein Ring R bildet anschaulich ein Punktgitter in den komplexen Zahlen mit quadratischen "Kacheln".
Und die Ungleichung aus 2. ergibt sich z.B. daraus dass die Diagonale des Quadrats mit Kantenlangen 1, $\begin{eqnarray*} \sqrt {2} \end{eqnarray*}$ ist.

3.Wende die 2. auf a+ib=x/y an.

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