Exponenten und Normen

13.04.2016, 10:32	zFABU	Auf diesen Beitrag antworten »
Exponenten und Normen Hallo Leute, sei $\begin{eqnarray} (X,\|\|.\|\|) \end{eqnarray}$ ein normierter Raum. Sei $\begin{eqnarray} x\in X \end{eqnarray}$ . Es gilt für $\begin{eqnarray} p\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|\|x^p\|\|=\|\|x\cdot x^{p-1}\|\|=\|\|x\|\|\cdot \|\|x^{p-1}\|\|=\ldots=\|\|x\|\|^p. \end{eqnarray}$ Aber wie sieht das ganze für $\begin{eqnarray} p\in (0,1) \end{eqnarray}$ aus? Gilt dann irgendetwas wie $\begin{eqnarray} \|\|x^p\|\|\leq \|\|x\|\|^p \end{eqnarray}$ ? Gruß zFABU
13.04.2016, 10:44	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, in einem gewöhnlichen normierten Raum, was soll da $\begin{eqnarray} x\cdot x \end{eqnarray}$ sein?
13.04.2016, 10:50	zFABU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde das gerne so allgemein wie möglich halten. Es soll auf jedefall gelten $\begin{eqnarray} x\cdot x \in X \end{eqnarray}$ also es darf $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ auch gerne abgeschlossen sein. Von mir aus kann man mal locker anfangen mit $\begin{eqnarray} x^T x \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ . Es soll aber genauso gelten für z.B. $\begin{eqnarray} f \in C^0(\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ u.ä. Kann auch sein, dass man das für jeden Raum einzeln prüfen muss, aber ich wollte erstmal so allgemein wie möglich wissen ob ein solches Resultat bekannt ist.
13.04.2016, 10:58	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst schonmal präzisieren, was du genau willst. So macht es keinen Sinn. Wenn du $\begin{eqnarray} X := \mathbb R^n \end{eqnarray}$ haben willst und $\begin{eqnarray} x\cdot x = x^Tx \end{eqnarray}$ sein soll (insbesondere ist dann nicht $\begin{eqnarray} x\cdot x\in \mathbb R^n \end{eqnarray}$ !), dann macht wiederum $\begin{eqnarray} x^3 \end{eqnarray}$ keinen Sinn, denn $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ ist dann eine reelle Zahl, dann ist aber $\begin{eqnarray} x^2\cdot x \end{eqnarray}$ nichtmehr wohldefiniert, weil dafür ja beide Faktoren aus $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ kommen müssten. Da ist der Fall $\begin{eqnarray} C^0 \end{eqnarray}$ schon was ganz anderes. Dort kannst du immerhin wirklich $\begin{eqnarray} f^p \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} p\in\mathbb N \end{eqnarray}$ definieren. Allerdings ist dann natürlich die Frage, was dieser Ausdruck für nichtganze $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ bedeuten soll. Falls $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ negativ wird, ist das dann nämlich undefiniert. Du siehst also, du musst dir erstmal im Klaren darüber werden, was du wirklich willst. Vielleicht interessiert dich das Konzept der normierten Algebra? Da gibt es allerdings auch nicht sowas wie $\begin{eqnarray} x^p \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} p\notin \mathbb N \end{eqnarray}$ . Ich möchte dich hier nicht ärgern oder so. Es ist nur so, dass es keine nichttrivialen kanonischen Beispiele für normierte Räume gibt, in denen man sowas wie $\begin{eqnarray} x^p \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} p\in (0,1) \end{eqnarray}$ sinnvoll definieren kann. Du müsstest also schon mal präziser werden. Eine Eigenschaft, die es allgemein garnicht gibt, kann man auch nicht allgemein beweisen.
13.04.2016, 11:57	zFABU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok dann hat sich das mit dem allgemeinen Resultat wohl erledigt dann gehen wir mal direkt in mein konkretes Anliegen Sei $\begin{eqnarray} f\in L^p(\Omega) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ ist ein genügend glattes beschränktes Gebiet. Es gilt $\begin{eqnarray} \|\|f\|\|_p = \left( \int_{\Omega} \|f\|^p \right)^\frac{1}{p} \end{eqnarray}$ . Ich interessiere mich für $\begin{eqnarray} t\in(0,1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|\|f^t\|\|_p \leq \|\|f\|\|_p^t \end{eqnarray}$ . Das einzige Problem, das ich sehe ist wohl in $\begin{eqnarray} \|\|f^t\|\|_p=\left( \int_{\Omega} \|f^t\|^p \right)^\frac{1}{p} \end{eqnarray}$ . Mach $\begin{eqnarray} f^t \end{eqnarray}$ Sinn für $\begin{eqnarray} f<0 \end{eqnarray}$ oder kann ich direkt $\begin{eqnarray} \|f\|^{tp} \end{eqnarray}$ schreiben? *Ich muss mich entschuldigen mein $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist nicht negativ!!!* Dann gilt: $\begin{eqnarray} \|\|f^t\|\|_p=\left( \int_{\Omega} \|f^t\|^p \right)^\frac{1}{p}\leq\left(\left( \int_{\Omega} \|f\|^p \right)^\frac{1}{p}\right)^t=\|\|f\|\|^t_p. \end{eqnarray}$ Ich habe nichts mehr übersehen oder?
13.04.2016, 18:24	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass die Behauptung falsch ist, siehst du schon für $\begin{eqnarray} p:=1=:n \end{eqnarray}$ , sowie $\begin{eqnarray} \Omega = [0,2] \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f \equiv 1 \end{eqnarray}$ . Falls $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ Maß $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ hat, könntest du dir die Jensensche Ungleichung ansehen.
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