Konstruierbarkeit Winkel algebraisch

13.04.2016, 16:56	Luz77	Auf diesen Beitrag antworten »
Konstruierbarkeit Winkel algebraisch Hallo! Ich würde mich über Hilfe bei der folgenden Aufgabe freuen! Zu zeigen ist, dass $\begin{eqnarray} cos(\alpha) \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} cos(4 \alpha) \end{eqnarray}$ konstruierbar ist, jedoch nicht geometrisch, sondern algebraisch durch eine Gleichung, in der $\begin{eqnarray} cos(\alpha) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} cos(4 \alpha) \end{eqnarray}$ enthalten sind. Meine Idee ist, dass ich die Formel von De Moivre hernehme: $\begin{eqnarray} (cos(\alpha) + isin(\alpha))^4 = cos(4 \alpha) + isin(4 \alpha) \end{eqnarray}$ . Wenn ich die linke Seite ausmultipliziere und in der Gleichung nur den Realteil betrachte, erhalte ich unter Verwendung von Additionstheoremen den Zusammenhang $\begin{eqnarray} cos(4\alpha)=8cos^4(\alpha)-8cos^2(\alpha)+1 \end{eqnarray}$ Ich kann nun $\begin{eqnarray} x=cos^2(\alpha) \end{eqnarray}$ substituieren und $\begin{eqnarray} cos(4\alpha) \end{eqnarray}$ als konstant (den Wert kenne ich ja) setzen. Damit folgt: $\begin{eqnarray} 0=x^2-x+\frac{1-cos(4\alpha)}{8} \end{eqnarray}$ Die Lösung ist $\begin{eqnarray} cos(\alpha)=\sqrt{x}=\sqrt{\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4}-\frac{1-cos(4\alpha)}{8} }} \end{eqnarray}$ Unter der Voraussetzung, dass ich mich nicht verrechnet habe - ist das zulässig und korrekt?
13.04.2016, 17:33	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du vor die äußere Wurzel auch noch ein $\begin{align} \pm \end{align}$ setzt, hast du alle vier Lösungen erfasst.
13.04.2016, 18:25	Luz77	Auf diesen Beitrag antworten »
Aja, genau. Danke!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »