Cosinus und Sinus explizit berechnen

13.04.2016, 17:24

Luz77

Cosinus und Sinus explizit berechnen

Hallo! Ich habe heute noch ein zweites Problem: Für $\begin{eqnarray*} cos(\frac{2\pi}{k}) \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} sin(\frac{2\pi}{k}) \end{eqnarray*}$ sollen für $\begin{eqnarray*} k=1, ..., 8 \end{eqnarray*}$ ein expliziter Ausdruck aufgestellt werden. Als Hilfestellung ist die Formel von DeMoivre angegeben

$\begin{eqnarray*} e^{inx}=(cos(x) + i*sin(x))^n = cos(nx) + i*sin(nx) \end{eqnarray*}$

Man soll $\begin{eqnarray*} nx=2\pi \end{eqnarray*}$ setzen und den Pythagoräischen Lehrsatz anwenden, doch wie soll dies gehen? Kann mir jemand einen Tipp geben?

13.04.2016, 17:56

HAL 9000

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Zitat:

Original von Luz77
ein expliziter Ausdruck aufgestellt werden

Und was verstehst du darunter? Erstaunt1

Insbesondere im Fall k=7 wüsste ich nichts "expliziteres" als $\begin{align*} \cos\left(\frac{2\pi}{7}\right) \end{align*}$ und $\begin{align*} \sin\left(\frac{2\pi}{7}\right) \end{align*}$ selbst. verwirrt

13.04.2016, 18:15

Luz77

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Thematisch gehört die Aufgabe (zumindest hier jetzt) zur Konstruktion mit Zirkel und Lineal. Aber mir fällt auch nichts Besseres ein.

Am Ehesten könnte man noch die Reihendarstellung oder

$\begin{eqnarray*} sin(x)=\frac{1}{2i}(e^{ix}-e^{-ix}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos(x)=\frac{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix}) \end{eqnarray*}$

als mögliches Ergebnis sehen.

13.04.2016, 19:36

Luz77

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Ok, k=7 soll man nicht betrachten. Damit sind alle Fälle bis auf k=5 recht einfach zu zeigen.

Und der Fall k=5 geht über die fünfte Einheitswurzel. Vielleicht kannst du mir hier kurz helfen? Auf Wikipedia beim Kapitel "Die fünften Einheitswurzeln" (kann den Link leider nicht posten) steht der Vorgang, aber zwei Schritte sind mit nicht klar:

die komplette dritte Zeile (warum ist das gleich zeta^4 und warum dann 2cos(72)?)

wie man vom cos auf den sin kommt?

Danke!

13.04.2016, 19:54

HAL 9000

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Die fünften Einheitswurzeln kann man recht gut algebraisch darstellen:

$\begin{align*} z^5-1 = (z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1) = (z-1)\left( \left(z^2+\frac{z}{2}+1\right)^2 - \frac{5}{4}z^2 \right) = (z-1)\left( z^2+\frac{z}{2}+1 - \frac{\sqrt{5}}{2}z \right) \left( z^2+\frac{z}{2}+1 + \frac{\sqrt{5}}{2}z \right) \end{align*}$

13.04.2016, 20:12

Luz77

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So geht's natürlich auch, danke!

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