(m+k)x(m+k) Blockmatrix invertieren

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13.04.2016, 21:29	0815	Auf diesen Beitrag antworten »
(m+k)x(m+k) Blockmatrix invertieren Hallo! Ich stehe bei einem Matrixbeispiel leider derzeit komplett auf der Leitung. Gegeben ist Folgendes: A ist eine mxm-Matrix und invertierbar, B ist eine mxk-Matrix, C ist eine kxm-Matrix und D eine kxk-Matrix. Weiters existiert die inverse Matrix von $\begin{align} CA^{-1}B-D \end{align}$ Zu bestimmen ist die Inverse der Blockmatrix $\begin{align} M = \begin{pmatrix}A & B \\ C & D\end{pmatrix} \end{align}$ , und zwar "unter Verwendung der Blockstruktur". Danach soll man noch angeben, wie sich eben diese vereinfacht, wenn C = 0 oder C = 0 und B = 0. Als Hinweis ist gegeben, dass man die inverse Matrix folgendermaßen ansetzen soll: $\begin{align} M^{-1} = \begin{pmatrix}X & Y \\ Z & W\end{pmatrix} \end{align}$ , mit passenden Matrizen W, X, Y, Z. Mein Problem mit dem Beispiel ist, dass wir bisher immer nur "bestimmte" Matrizen mit Zahlen gerechnet haben, und so gut wie nicht mit solchen "allgemeinen", und dass in dieser Aufgabe der Ausdruck "Blockmatrix" zum ersten Mal in der ganzen Vorlesung gefallen ist (und im Skriptum nicht erwähnt ist, was mich ebenfalls schon gewundert hat...). Was ich bisher aus dem Internet zusammentragen konnte, ist dass (zumindest diagonale) Blockmatrizen dann invertierbar sind, wenn die "kleinen" Matrizen, die darin vorkommen, alle invertierbar sind, Wikipedia (ich weiß, schrecklich, aber ich war schon etwas verzweifelt...) gibt eine ziemlich komplizierte Formel für eine inverse 2x2-Blockmatrix an, die das Schurkomplement verwendet, das das $\begin{align} CA^{-1}B-D \end{align}$ aus meiner Angabe mal -1 zu sein scheint, allerdings hat das dann nichts mehr mit dem Ansatz zu tun, den ich verwenden soll. Was ich mir ansonsten bisher überlegt habe: Matrix mal inverse Matrix muss eine Einheitsmatrix ergeben. Wenn ich jetzt mit den Regeln für Blockmatrixmultiplikation (sofern ich das richtig verstanden hab, geht man da gleich vor wie bei "normaler" Matrizenmultiplikation, nur mit Blöcken statt Einträgen) M und M^(-1) aus dem Ansatz multipliziere, hab ich dann für die Einheitsmatrix (wenn ich da jetzt richtig gerechnet hab) $\begin{align} E = \begin{pmatrix}AX+CY & BX+DY \\ AZ+CW & BZ+DW\end{pmatrix} \end{align}$ . AX+CY und BZ+DW müssten Einheitsmatrizen sein und die anderen beiden Nullmatrizen, damit insgesamt wieder eine Einheitsmatrix herauskommt. Damit ich überhaupt so addieren kann, müssen AX und CY, BX und DY etc. die gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten haben (da komm ich bei AX+CY z.B. schon nicht hin. Hätte ich vorher von der anderen Seite multiplizieren müssen?). Fürs Multiplizieren müssen die Zeilen/Spalten auch wieder entsprechend zusammenstimmen. Weiter komme ich leider beim besten Willen nicht. Selbst wenn ich jetzt von allen diesen Ergebnissen die Spalten- und Zeilenanzahl kenne, komme ich nicht drauf, wie mir das weiterhilft. Vielleicht bin ich auch gerade komplett auf dem Holzweg. Für Tipps und Hilfe wäre ich sehr dankbar!
13.04.2016, 23:49	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (m+k)x(m+k) Blockmatrix invertieren Du musst bedenken, dass das Matrixprodukt nicht kommutativ ist. So ergibt sich beim genannten Ansatz für den linken oberen Block von $\begin{eqnarray} M^{-1}M \end{eqnarray}$ der Term $\begin{eqnarray} XA+YC \end{eqnarray}$ statt wie bei dir $\begin{eqnarray} AX+CY \end{eqnarray}$
14.04.2016, 15:50	0815	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (m+k)x(m+k) Blockmatrix invertieren Danke für den Hinweis! Hab ich beim Rechnen komplett vergessen... Neuer Versuch - habe das Produkt nochmal einmal von links und einmal von rechts ausgerechnet und bekomme dann $\begin{align} \begin{pmatrix}AX+BZ & AY+BW\\ CX+DZ & CY+DW\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}XA+YC & XB+YD\\ ZA+WC & ZB+WD\end{pmatrix} = E_{m+k} \end{align}$ . Daraus bekomme ich jetzt heraus, dass X eine mxm-, Y eine mxk-, Z eine kxm- und W eine kxk-Matrik ist, also wieder die gleiche Blockstruktur wie bei der Matrix in der Angabe. Weil die Diagonale Einheitsmatrizen sind und der Rest Nullmatrizen, hätte ich die folgenden Gleichungen aufgestellt: $\begin{align} I: AX+BY = XA+YC=E_m \end{align}$ $\begin{align} II: CY+DZ = ZB+WD=E_k \end{align}$ $\begin{align} III: AY+BW = XB+YD=0_{m\times k} \end{align}$ $\begin{align} IV: CX+DZ = ZA+WC=0_{k\times m} \end{align}$ Bei denen hätte ich jetzt versucht, so viel wie möglich zumindest in eine "Hälfte" mit A^(-1) zu multiplizieren (da die Inverse von A ja laut Angabe existiert) - in der Hoffnung, dass sich manches vereinfacht. Zusammen damit, dass Matrix mal Einheitsmatrix wieder die Matrix ergibt (meines Wissens nach?), und Matrix mal Nullmatrix auch eine Nullmatrix ist, habe ich schließlich (über Gleichsetzen von linken/rechten Gleichungshälften, auf deren anderer Seite das Gleiche steht): $\begin{align} A^{-1}BZ=YCA^{-1} \end{align}$ und $\begin{align} Y+A^{-1}BW=Z+WCA^{-1} \end{align}$ . Jetzt weiß ich schon wieder nicht weiter. Mit weiteren Inversen kann ich nicht multiplizieren, da ich auf die zweite in der Angabe gegebene Matrix, die eine Inverse hat, nicht komme und ich von den anderen nicht weiß, ob sie invertierbar sind. Gibt es da noch eine andere Möglichkeit, weiterzukommen oder war ich bis hierher ohnehin schon auf dem Holzweg?
14.04.2016, 20:09	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (m+k)x(m+k) Blockmatrix invertieren Ich kann gerade nicht nachvollziehen, wie du durch Gleichsetzen deine beiden letzten Gleichungen bekommen hast. Ich habe aus $\begin{eqnarray} ZA+WC=0 \end{eqnarray}$ gefolgert, dass $\begin{eqnarray} Z=-WCA^{-1} \end{eqnarray}$ gilt. Jetzt schielt man auf die vorausgesetzte Invertierbarkeit von $\begin{eqnarray} CA^{-1}B-D \end{eqnarray}$ und multipliziert deswegen von rechts mit B: $\begin{eqnarray} ZB=... \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ZB \end{eqnarray}$ taucht im Gleichungssystem nochmal auf und dann ist man schon fast am Ziel
14.04.2016, 21:35	0815	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (m+k)x(m+k) Blockmatrix invertieren Hm, ich hab aus der 1. Gleichung $\begin{align} AX+BY=E_m \end{align}$ von links und $\begin{align} XA+YC=E_m \end{align}$ mit A^(-1) multipliziert, dann hatte ich auf der rechten Seite jeweils A^(-1) stehen, habe gleichgesetzt und das einzelne X von jeder Seite abgezogen. Beim anderen hatte ich einmal einen Teil der 3. und einen Teil der 4. Gleichung wie oben multipliziert und dann über 0 gleichgesetzt, komm aber grad drauf, dass das wohl gar nicht gehen dürfte, weil 3. und 4. Gleichung unterschiedliche Zeilen-/Spaltenanzahlen haben. Da war ich etwas zu voreilig bzw. ungenau... Vielen Dank für den Hinweis! Also habe ich dann $\begin{align} ZB = -WCA^{-1}B \end{align}$ , das setze ich dann in die Gleichung 2 ein: $\begin{align} -WCA^{-1}B+WD=E_k \end{align}$ --> $\begin{align} -W(CA^{-1}B-D)=E_k \end{align}$ --> $\begin{align} W = -(CA^{-1}B-D)^{-1} \end{align}$ . Das hätte ich dann wieder in ZA + WC = 0 eingesetzt --> $\begin{align} Z = (CA^{-1}B-D)^{-1}CA^{-1} \end{align}$ . Dann in der 1. für X --> $\begin{align} X = -A^{-1}B(CA^{-1}-D)^{-1}CA^{-1} \end{align}$ und in der 3. für Y --> $\begin{align} Y = A^{-1}B(CA^{-1}B-D)^{-1} \end{align}$ Wäre das zumindest von der Vorgehensweise so richtig? Wenn ich jetzt sehen will, wie sich die invertierte Matrix vereinfacht, wenn C oder B und C null sind, kann ich das wohl nicht direkt in dieser Matrix null setzen, oder? (Kommt mir komisch vor, weil dann die ganze linke Spalte 0 wäre...) Wäre es richtig, das Prozedere nochmal von vorn zu machen, aber diesmal bei $\begin{align} M\cdot M^{-1} \end{align}$ C (bzw. B und C) null setzen? Und vielen Dank für die bisherige Hilfe, dank dir sehe ich langsam, worauf dieses Beispiel hinaus will bzw. wie ich vorgehen soll. Ich weiß die Tipps sehr zu schätzen!
14.04.2016, 21:47	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (m+k)x(m+k) Blockmatrix invertieren Ich habe für X ein etwas anderes Ergebnis. Du kannst dann die Spezialfälle C=0 usw natürlich einsetzen. Welche linke Spalte soll da Null werden?
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14.04.2016, 22:05	0815	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (m+k)x(m+k) Blockmatrix invertieren Oh, da hab ich wohl fälschlicherweise mit Nullmatrix statt mit Einheitsmatrix auf der rechten Seite gerechnet. Danke! $\begin{align} AX + BZ =E_m \end{align}$ --> $\begin{align} X = A^{-1} - A^{-1}B(CA^{-1}B-D)^{-1}CA^{-1} \end{align}$ War das der Fehler, den du gemeint hast? Ich dachte, wenn C Null ist, werden sowohl der X-Block als auch der Z-Block Null, weil dort alles mit C multipliziert wird. Da hatte ich aber noch übersehen, dass in X eine nicht mit C multiplizierte Matrix steht... Heißt das ansonsten, ich kann in M^(-1) wirklich einfach die Cs bzw. Bs und Cs mit Null ersetzen? Das wäre natürlich schon angenehm, weil weniger Rechenaufwand...
17.04.2016, 19:04	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (m+k)x(m+k) Blockmatrix invertieren Das war in der Tat der Fehler und es spricht nichts gegen das Ersetzen.
17.04.2016, 22:43	0815	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (m+k)x(m+k) Blockmatrix invertieren Super, vielen Dank für die Hilfe und Geduld!

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