Winkel zwischen zwei Geraden

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schrauberking Auf diesen Beitrag antworten »
Winkel zwischen zwei Geraden
Meine Frage:
Guten Abend und Hallo xD,

habe gerade in der Schule das Thema mit den Winkeln bei Vektoren.

Da soll ja der Cosinussatz passend sein, weil in ihm ja nur der eine Winkel vorkommt. Die Herleitung an einem normalen Dreieck habe ich noch so hingekriegt.
Der gesuchte Winkel zwischen zwei Geraden war klar.

Bei einem stumpfen Dreieck habe ich das allerdings über einen Hilfswinkel machen müssen.
Hier mal ein Bild was ich meine:
http://www.dieter-heidorn.de/Mathematik/...tz/svc3dc43.gif

Lange rede kurzer Sinn. Dieser Hilfswinkel ist ja dann kleiner als (alpha). Und bei der Herleitung kommt dann bei mir raus.
a^2=b^2+c^+2bc*cos(Hilfswinkel)

Und dann dachte ich mir, da die bei Vektoren immer den kleineren Winkel wollen, benutze ich einfach die Formel einfach. Also im normalen Dreieck bekomme ich so bis jetzt immer den kleineren Winkel, aber wenn ich das auch Vektoren übertrage kommt am Ende bei mir der Ausdruck:

-b1c1-b2c2-b3c3/ Produkt aus Beträgen = cos(Hilfswinkel)

Aber wenn ich z.B bei den Vektoren (1/2/1) (3/3/3) das anwende kommt der falsche Winkel raus.

Und ich verstehe nicht warum.?

Ist was an meiner Herleitung falsch?


Danke!

EDIT (mY+): Anstatt zu schrauben (das sind KEINE Ideen!), solltest du bitte einmal deine PN lesen!

Meine Ideen:
schraubt
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Winkel zwischen zwei Geraden-Problem?
Guten Morgen,

in Deinem Beitrag sind ein paar Punkte, die mich ziemlich irritieren:

1.
Zitat:
Dieser Hilfswinkel ist ja dann kleiner als (alpha).
das ist ungenau: Der (in Deiner Zeichnung nicht markierte) Hilfswinkel ist .
Und wegen

ergibt sich die veränderte Gleichung für den Kosinussatz.

2.
Zitat:
-b1c1-b2c2-b3c3/ Produkt aus Beträgen = cos(Hilfswinkel)
Wie Du auf diese Gleichung kommst, verstehe ich nicht. Zum einen fehlen Klammern um den Zähler des Quotienten und wieso der Zähler jetzt negativ sein soll, kann ich nicht nachvollziehen.

Die Formel zur Bestimmung des Winkels zwischen den Vektoren und lautet:



Und damit bekommst Du immer den richtigen Winkel.

Zitat:
Aber wenn ich z.B bei den Vektoren (1/2/1) (3/3/3) das anwende kommt der falsche Winkel raus.
Wie sieht denn Dein falscher Winkel aus?
schrauberking Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Winkel zwischen zwei Geraden-Problem?
Hallo,
danke erstmal für die Antworten.

Ich habe leider einen kleinen Fehler gemacht. Mir geht es um den Schnittwinkel zwischen zwei Geraden.

Die Herleitung für den Schnittwinkel zwischen zwei Vektoren aus dem direkten Kosinuussatz ist für mich klar.

Der gilt ja auch am stumpfen Dreieck. Wenn man das mal "hinbiegt" über den Hilfswinkel.

Worauf ich hinaus wollte ist, dass, so finde ich, das stumpfe Dreieck doch perfekt dafür gedacht ist um den Schnittwinkel zweier Geraden zu berechnen.

Da man ja direkt sieht, dass zwei Winkel im Spiel sind und.

Bei mir ist :

a^2=b^2+c^2-2bc *cos(phi=Hilfswinkel) Da alpha der überstumpfe Winkel ist bleibe ich bei phi

Lade mal ein Bild hoch von dem was ich gemacht habe. Bei mir waren eben k und s die beiden Richtungsvektoren von den Geraden.

Wie auch immer. Um 11 Uhr nachts jedenfalls geht das nicht mehr so gut, deshalb will ich auch wissen was hier falsch ist.!

Danke.
trxre Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist aufgefallen, dass du in deinem Text, den Kosinussatz zwar richtig aufgestellt hast, aber auf deinem Blatt steht direkt in der ersten Zeile etwas anderes:
a^2=b^2+c^2 + 2ab cos(phi) anstatt
a^2=b^2+c^2 - 2ab cos(phi)
schrauberking Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh, das war so nicht gemeint.

Ich will nicht mit "dem" Kosinussatz rechnen der mit dem Winkel (alpha) geht sondern mit phi.
Da sollte ein + stehen. Das Minus kommt ja erst, wenn ich mit (alpha) rechne.
schrauberking Auf diesen Beitrag antworten »

So meinte ich das.
 
 
schrauberking Auf diesen Beitrag antworten »

Die Pfeile sind hier ja schon zu viel, aber dass wollte ich eben auf meine Vektoren übertragen. Und dabei kommt dann das raus, was ich im ersten Beitrag schon gesagt habe. Aber offenbart kann das ja nicht stimmen. Wo hab ich denn was falsch gemacht?
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

zur Klarstellung einige grundsätzliche Bemerkungen vorweg:

1. Die Kosinusfunktion ist auf dem (Winkel-)Intervall [0°; 180°] monoton fallend.


2. Daraus folgt, dass es eine monoton fallende Umkehrfunktion gibt.


3. Zwei sich schneidende Gerade erzeugen immer 2 Winkel. Welchen Winkel du berechnest, hängt von der Orientierung der Richtungsvektoren ab.

4. Es wird immer der "normale" Kosinussatz benutzt.

Ein Beispiel: Bestimme den Winkel zwischen und



D.h., wenn der Winkel größer ist als 90° ist der Kosinus automatisch negativ. Das Minuszeichen muss nicht von Dir eingefügt werden.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Winkel zwischen zwei Geraden-Problem?
Zitat:

Und damit bekommst Du immer den richtigen Winkel.


und sollte einer der beiden Winkel gemeint sein , so muss normiert werden:

ist der positive Winkel wenn man linksherum "auf" dreht.
schrauberking Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Winkel zwischen zwei Geraden-Problem?
Danke für die Antworten nochmal. Augenzwinkern

Das mit den Vektoren habe ich ja schon verstanden.
Alpha kann ich ja auch berechnen.

Nur ich jetzt habe ich schonen mit dem einen Weg begonne und da will ich nicht mit alpha irgendwas machen.
Also ich habe doch in dem Dreieck den Hilfswinkel kleiner 90 Grad. Beim Schnittwinkel zweier Geraden ist doch auch der immer gesucht.

Auf dem Papier kriege ich jedenfalls immer den kleineren Winkel raus. Wenn ich die Formel auf Vektoren übertrage kommt aber so ein dummes Zeug raus.

Ich verstehe nicht warum.!!! böse
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Winkel zwischen zwei Geraden-Problem?
Guten Morgen,

zwei sich schneidende Gerade erzeugen immer zwei Winkel. Welchen Du berechnen willst, entscheidest Du.
Zitat:
Wenn ich die Formel auf Vektoren übertrage kommt aber so ein dummes Zeug raus.

Solange Du uns nicht zeigst, woran Du merkst, dass Deine Ergebnisse dummes Zeug sind, können wir Dir hier nicht weiterhelfen.

Nochmals:
Mit dieser Formel bekommst den von den Vektoren eingeschlossenen Winkel (vgl. Dopaps Hinweis):


und hiermit

bekommst Du immer den kleineren der beiden Winkel.

Hinweis: Ich bin ab jetzt für mindestens 2 Tage offline. Es wird Dir aber sicher bei Bedarf weitergeholfen werden. Wink
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