Beweis bei Hyperbel: Differenz der Abstände zu den Brennpunkten = 2a

14.04.2016, 11:18

Hyperbeln

Beweis bei Hyperbel: Differenz der Abstände zu den Brennpunkten = 2a

Hallo,

Wie kann ich rechnerisch zeigen, dass:

Sind $\begin{eqnarray*} F_1, F_2 \end{eqnarray*}$ Brennpunkte einer Hyperbel mit größerer Achse 2a. Für jeden Punkt der Hyperbel gilt dann: $\begin{eqnarray*} ||PF_1 - |PF_2|| = 2a \end{eqnarray*}$ .

1.) Was heißt überhaupt "größere Achse 2a"?

2.) Ich wollte mir das so überlegen:

a) Ich betrachte einmal $\begin{eqnarray*} |PF_1| \end{eqnarray*}$ . Wenn ich von P aus eine Senkrechte zur Hauptachse der Hyperbel ziehe, dann schneidet diese die Hauptachse in einem Punkt Q. Mit $\begin{eqnarray*} PQF_1 \end{eqnarray*}$ habe ich dann ein rechtwinkliges Dreieck.

b) Nach Pythagoras gilt nun: $\begin{eqnarray*} |PF_1|^2 = y^2 + (x + \sqrt{a^2+b^2}) \end{eqnarray*}$ . Hier habe ich noch ein Problem, denn was in der Klammer steht, stimmt ja nicht immer, z.B. wenn P1 viel weiter im Negativen auf der x-Achse liegt als F1, dann müsste ich von dem x-Wert des Punktes P den Wurzel-Ausdruck abziehen... verwirrt

Wie geht das denn nun am besten..?

14.04.2016, 11:27

HAL 9000

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Vielleicht nennst du zuerst mal eure Definition der Hyperbel. Mitunter findet man nämlich auch das hier

Zitat:

Original von Hyperbeln
Sind $\begin{eqnarray*} F_1, F_2 \end{eqnarray*}$ Brennpunkte einer Hyperbel mit größerer Achse 2a. Für jeden Punkt der Hyperbel gilt dann: $\begin{eqnarray*} \left| |PF_1| - |PF_2| \right| = 2a \end{eqnarray*}$ .

als Definition der Hyperbel vor, und in dem Fall wäre ja dann nichts zu beweisen. Augenzwinkern

14.04.2016, 11:33

Hyperbeln

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Wir haben notiert:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \end{eqnarray*}$ als Hyperbelgleichung. Wink

14.04.2016, 14:41

mYthos

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Mit "größerer Achse" ist die Hauptachse gemeint, auf dieser befinden sich die Scheitelpunkte der Hyperbel.
Die Nebenachse $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ kann - von der Länge her gesehen - durchaus auch länger als $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ sein.
Die Brennpunkte haben die Koordinaten $\begin{eqnarray*} F_1(e; 0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F_2(-e; 0) \end{eqnarray*}$ , wobei

$\begin{eqnarray*} e^2 = a^2 + b^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ ist die lineare Exzentrizität (Brennpunktsabstand vom Mittelpunkt).
Nimm nun einen allgemeinen Punkt $\begin{eqnarray*} X(x; y) \end{eqnarray*}$ auf (einem Ast) der Hyperbel (!) an und berechne mit diesem allgemein die Abstände $\begin{eqnarray*} l1 = F_1X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} l2 = F_2X \end{eqnarray*}$ (Längen der Leitlinien)

Der Betrag der Differenz dieser beiden muss $\begin{eqnarray*} 2a \end{eqnarray*}$ ergeben, --> $\begin{eqnarray*} | l_1 - l_2 | = 2a \end{eqnarray*}$
Dieses Resultat solltest du dann erhalten.

mY+

14.04.2016, 18:46

Hyperbeln

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D.h.:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{ (x+e)^2 + y^2} - \sqrt{(x-e)^2 + y^2} = \pm 2a \end{eqnarray*}$ ist zu zeigen?

Nach einiger Rechnerei habe ich das nicht direkt von "links nach rechts" zeigen können. Daher habe ich einfach beide Seiten umgeformt:

1.) Ich multipliziere Zähler und Nenner auf der linken Seite mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{ (x+e)^2 + y^2} + \sqrt{(x-e)^2 + y^2} \end{eqnarray*}$ .

2.) Ich erhalte: $\begin{eqnarray*} \frac{4xe}{\sqrt{ (x+e)^2 + y^2} + \sqrt{(x-e)^2 + y^2}} = \pm 2a \end{eqnarray*}$ .

3.) Das forme ich kurz um zu: $\begin{eqnarray*} \sqrt{(x+e)^2+y^2} + \sqrt{(x-e)^2+y^2} = \pm \frac{2xe}{a} \end{eqnarray*}$ .

4.) Ich addiere das Ergebnis aus Schritt 2 zur Zeile, die ich zeigen wollte und erhalte: $\begin{eqnarray*} 2\sqrt{(x+e)^2+y^2} = \pm 2(a + \frac{xe}{a}) \end{eqnarray*}$ .

Division durch 2 und QUadrieren sowie Umformen führten mich dann zu:

5.) $\begin{eqnarray*} a^2b^2 + a^2y^2 = x^2b^2 \end{eqnarray*}$ .

Ich weiß nicht, ob das jetzt Schritte sind, auf die du hinaus wolltest, aber stimmen sollte es trotzdem soweit.
Nun müsste ich nur noch irgendwie zeigen, dass die 5. Zeile passt. verwirrt

14.04.2016, 19:08

mYthos

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Zitat:

Original von Hyperbeln
Wir haben notiert:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \end{eqnarray*}$ als Hyperbelgleichung. Wink

Genau das soll sich aus deinem Beweis ergeben.
Wenn du jetzt deine Gleichung genauer ansiehst und diese mit der Hyperbelgleichung vergleichst, siehst du, dass du alles richtig gemacht hast, denn aus 5. folgt weiter

$\begin{eqnarray*} b^2x^2 - a^2y^2 = a^2b^2 \ | \ : a^2b^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {x^2}{a^2} - \frac {y^2}{b^2} = 1 \end{eqnarray*}$

Und so soll's doch sein! smile

mY+

14.04.2016, 19:14

Hyperbeln

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Na wunderbar, vor lauter Rechnungen hatte ich schon wieder vergessen, wohin ich eigentlich wollte.. Big Laugh

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