Maximum von Verteilungsfunktionen

15.04.2016, 15:10

Kvasil

Maximum von Verteilungsfunktionen

Hallo,

wenn man - je nach Verteilung - einen Parameter sucht, für den die entsprechende Verteilung maximal wird, bietet es sich doch vermutlich meist an, die Ableitung zu betrachten.

Wie sieht es denn in den folgenden Fällen (geometrisch und poisson) aus?

1.) Geometrisch (gesucht: Parameter p, sodass P(X=k) maximal wird)

Ich habe $\begin{eqnarray*} P(X=k) = p \cdot (1-p)^{n-1} \end{eqnarray*}$ .

Hier unterscheide ich den Fall $\begin{eqnarray*} p = 1 \end{eqnarray*}$ und erhalte, dass P(X=k) maximal wird wenn k=1 ist.
Ein zweiter Fall ist $\begin{eqnarray*} 0 \leq p \leq 1 \end{eqnarray*}$ , wobei ich hierbei nicht ableite, sondern die Monotonie betrachte.
$\begin{eqnarray*} \frac{P(X=k)}{P(X=k-1)}= 1-p < 1 \end{eqnarray*}$ .

Damit ist P(X=k) streng monoton fallend und das Maximum liegt bei k=1.

Stimmt das? Geht das (auch/alternativ) über Ableitungen? Muss ich das Maximum noch nachweisen?

2.) Poisson (gesucht: Parameter $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ , sodass P(X=k) maximal wird)

Ich habe $\begin{eqnarray*} P(X=k) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} \end{eqnarray*}$ .

Auch hier betrachte ich wieder die Monotonie, analog wie oben, und habe:
$\begin{eqnarray*} P(X=k-1) < P(X=k) \rightarrow k < \lambda \end{eqnarray*}$ .

Dann suche ich diejenigen k, für die das gilt. Und da fallen mir intuitiv nur $\begin{eqnarray*} \lambda-1 \leq k \leq \lambda \end{eqnarray*}$ ein.

verwirrt

Auch hier gibt es doch bestimmt einen elegante(re)n Weg?

17.04.2016, 12:33

melianarana

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Was genau möchtest du maximieren? In deinem Ansatz hast du jeweils einen Wert für k gefunden. Möchtest du an dieser Stelle die Wahrscheinlichkeit maximieren?

Für einen Formellen Beweis mit einem Ergebnis für p oder $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ würde ich ableiten empfehlen.

Hinweis: in deiner geometrischen Verteilung hast du im Exponenten n statt k stehen.

17.04.2016, 12:39

melianarana

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Noch ein kleiner Tipp: die Lösungen findest du zur Kontrolle auch in den Graphen von Wikipedia Augenzwinkern

17.04.2016, 16:22

Kvasil

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Zitat:

Original von melianarana
Was genau möchtest du maximieren? In deinem Ansatz hast du jeweils einen Wert für k gefunden. Möchtest du an dieser Stelle die Wahrscheinlichkeit maximieren?
.

Ich suche nach dem Parameter $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ , der die Wahrscheinlichkeit für Beobachtungen von Poisson-verteilten Zufallsvariablen maximiert.

D.h. ich sollte tatsächlich nach lambda ableiten..

Ich erhalte dann

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{-\lambda} \cdot (k-x)x^{k-1}}{k!} \end{eqnarray*}$ .

Das Maximum dürfte bei $\begin{eqnarray*} \lambda \to k \end{eqnarray*}$ liegen. Korrekt?

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