Mengenlehre, Venn-Diagramm

15.04.2016, 16:27

Nichtsogut

Mengenlehre, Venn-Diagramm

Hallo Forum,

folgendes Problem möchte ich schildern: ich habe die Aufgabe bekommen folgende Gleichung zu beweisen:

Sei Omega eine beliebige Menge und A, B, C und D Teilmengen von Omega;. Beweisen oder widerlegen Sie:
(A ×B)geschnitten(C ×D)=(A geschnitten C)×(B geschnitten D)

Als aller erstes möchte ich ein Ven diagramm erstellen. Allerdings weiß ich nicht wie sich das mit den x verhält? Ist A kreuz B eine Menge?

15.04.2016, 16:41

Leopold

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Da mußt du dich wohl erst mit dem kartesischen Produkt von Mengen vertraut machen, bevor du dich an die eigentliche Aufgabe wagen kannst.

15.04.2016, 16:46

Nichtsogut

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Was das kartesische Produkt ist weiß ich. Aber wienzeichne ich nun das in einem Venn diagramm auf? Hat AxB ein kreis als ganzes oder muss ich für die teilmwngen auch jeweils ein kreis bilden?

15.04.2016, 17:02

Leopold

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Zitat:

Original von Nichtsogut
Allerdings weiß ich nicht wie sich das mit den x verhält? Ist A kreuz B eine Menge?

Zitat:

Original von Nichtsogut
Was das kartesische Produkt ist weiß ich.

Die beiden Aussagen widersprechen sich offensichtlich.

Ich glaube, daß hier ein Venn-Diagramm nicht sinnvoll ist. Ich wüßte auch gar nicht, wie man ein solches in dieser Situation zeichnen sollte. Im üblichen Sinn findet ein Venn-Diagramm in einer zweidimensionalen Zeichnung statt. Durch die Bildung des Mengenprodukts bräuchte man also etwas Vierdimensionales.

Zeige die Mengengleichheit, indem du die linke Seite der zu beweisenden Gleichung als Teilmenge der rechten Seite nachweist und umgekehrt.

15.04.2016, 17:20

Nichtsogut

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(A ×B)geschnitten(C ×D)=(A geschnitten C)×(B geschnitten D)

Sei x € (AxB) geschnitten (CxD)
=> x € (AxB) und x € (CxD)

Wie gehts dann bitte weiter? traurig

15.04.2016, 17:53

Leopold

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$\begin{align*} x = (x_1,x_2) \end{align*}$ ist von der Form $\begin{align*} x = (a,b) \end{align*}$ mit $\begin{align*} a \in A \end{align*}$ und $\begin{align*} b \in B \end{align*}$ , aber auch von der Form $\begin{align*} x = (c,d) \end{align*}$ mit $\begin{align*} c \in C \end{align*}$ und $\begin{align*} d \in D \end{align*}$ , weil es ja im Schnitt von $\begin{align*} A \times B \end{align*}$ und $\begin{align*} C \times D \end{align*}$ liegt. Zusammengefaßt also:

$\begin{align*} x = (a,b) = (c,d) \end{align*}$

Jetzt verwende die Definition der Paargleichheit. Was folgt daher für $\begin{align*} x_1 \end{align*}$ und $\begin{align*} x_2 \end{align*}$ ?

15.04.2016, 18:03

Nichtsogut

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Ich habe leider nicht verstanden was x1 bzw. X2 sind? Wenn doch die beliebigen elemente für die jeweiligen Teilmengen in kleinbuchstaben vorliegen.

Paargleichheit dazu fällt mir nichts ein. verwirrt

16.04.2016, 12:15

Leopold

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Zitat:

Original von Nichtsogut
Paargleichheit dazu fällt mir nichts ein. verwirrt

Dann liegt es halt entgegen deinen Bekundungen doch daran, daß du noch nicht verstanden hast, was das kartesische Produkt $\begin{align*} X \times Y \end{align*}$ zweier Mengen $\begin{align*} X,Y \end{align*}$ bedeutet.

$\begin{align*} x \end{align*}$ ist ein Paar, bestehend aus zwei Koordinaten: $\begin{align*} x = (x_1,x_2) \end{align*}$ . Mehr wird hiermit nicht zum Ausdruck gebracht. Und zwei Paare sind genau dann gleich, wenn sie in beiden Koordinaten übereinstimmen.

$\begin{align*} x = (x_1,x_2) = (a,b) = (c,d) \end{align*}$

berücksichtigt zusätzlich, daß $\begin{align*} x \in ( A \times B ) \cap ( C \times D) \end{align*}$ ist.

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