Zufallsexperiment

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darius92 Auf diesen Beitrag antworten »
Zufallsexperiment
Moin,

es geht um folgendes Spiel

"Zwei Spieler besitzen Kapital A und Kapital B. Sie werfen eine Münze. Gewinnt Spieler 1 kriegt er einen Euro von Spieler 2 und umgekehrt. Das Spiel endet, wenn einer von beiden kein Geld mehr hat."

Wie viel Züge wird so ein Spiel im Schnitt benötigen, abhängig vom jeweiligen Startkapital?

welche Formel aus der Stochastik wird hier benötigt? Kann man intuitiv einen Erwartungswert ermitteln? Mit Mathematica habe ich Ermittelt, dass die Spiele im Schnitt A*B Spielzüge benötigen, aber ich habe keine Ahnung welche Formel oder Überlegung dahinter steckt.
Kann mir jemand helfen?

LG
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Ich erinnere mich noch daran als 13 JÄHRIGER auf Karopapier so eine Zitterlinie erstellt zu haben: mit p=0.5 nach rechts oben respektive mit p=0.5 nach rechts unten.
Und du willst nun wissen, wie lange es dauert bis die Linie den Korridor y=A oder y=-B "durchbricht"

Es gibt nur 3 mir bekannte Hinweise:

1.) der Limes (n-> unendlich) von X/Y ist 1. (Konvergenz )
2.) X-Y ist divergent.

3.)

Mir ist aber leider nichts darüber bekannt wie stark das gilt um etwas Vernünftiges ableiten zu können. verwirrt
 
 
darius92 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, also ich dachte da gibt es vielleicht einen stochastischen Satz, den man darauf anwenden könnte. Aus deinen Hinweisen werde ich leider (noch) nicht schlau, trotzdem vielen Dank erstmal smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ganze gehört zum großen Themengebiet Random Walk, vielleicht wirst du ja mit diesem Stichwort bei der Suche nach einer Lösung deines Problems fündig.

Zitat:
Original von darius92
Mit Mathematica habe ich Ermittelt, dass die Spiele im Schnitt A*B Spielzüge benötigen

Ist richtig, und kann man auch ohne größere Kenntnisse zum Random Walk durch vollständige Induktion nachweisen.
darius92 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey HAL vielen Dank für das Stichwort, da werd ich mal nach suchen.

Euch beiden einen schönen Abend smile Wink
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Zitat:
Original von darius92
Mit Mathematica habe ich Ermittelt, dass die Spiele im Schnitt A*B Spielzüge benötigen

Ist richtig, und kann man auch ohne größere Kenntnisse zum Random Walk durch vollständige Induktion nachweisen.

Vermutlich hat HAL folgenden Lösungsweg im Sinn:

Es sei der Erwartungswert der Spiellänge bei einem Anfangsbestand von bzw. der beiden Spieler. Dann hat man folgende Beziehungen:



für

Aus diesen Beziehungen bekommt man für ein Gleichungssystem für die Erwartungswerte , bis . Dieses Gleichungssystem lässt sich für allgemeines per Induktion auflösen mit dem schon genannten Ergebnis für den Erwartungswert der Spiellänge. Es gibt dabei einen kleinen Unterschied für gerades bzw. ungerades .
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
für

Eine kleine, aber wichtige Korrektur: Augenzwinkern

Ansonsten war es tatsächlich genau das, was ich im Sinn hatte.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Teufel auch! Die natürlich essentielle 1 war mir beim Schreiben der Antwort im Board entschlüpft. Danke HAL! Habe es oben korrigiert. Ebenso einen fehlenden Faktor beim Bereich für den Laufindex .
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Nachweis der expliziten Darstellung kann man verschiedene Wege beschreiten - eine Möglichkeit: Man weist per Induktion über die Aussage

: Für alle gilt

nach. Im Induktionsschritt nutzt man , umgestellt

,

das klappt für alle .


Interessanterweise ist der Induktionsanfang hier die größere Herausforderung: Damit meine ich nicht ( ist trivialerweise erfüllt), wohl aber . Für letzteres summiert man

für ,

das ergibt für sofort , und für

,

was unter Berücksichtigung von sowie zu führt, also das was wir brauchen. Augenzwinkern
darius92 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, sieht sehr interessant aus!
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