Bestimmte Divergenz und Monotonie Zusammenhang?

15.04.2016, 20:46

nelg

Bestimmte Divergenz und Monotonie Zusammenhang?

Meine Frage:
Hallo Leute,

mein Problem ist folgendes: Ich habe zwar inzwischen verstanden, was ne Folge, Divergenz und Konvergenz ist. Jedoch kann ich mit meiner Mitschrift aus der VL nicht wirklich viel anfangen. Deshalb ist meine Frage, ob mir hier einer den vorliegenden Beweis (?) in den zumindest grob erklären könnte. (Sofern das aus den folgenden Zeilen erkennbar ist)

Folgende Aufgabe ist gegeben (Mitschrift aus der Vorlesung):

1) $\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{n \to \infty } \frac{n^{n}}{n!} = \infty \end{eqnarray*}$

2) Zu zeigen ist, dass diese Folge gegen $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ divergiert.

Dazu ist ein epsilon > 0 (beliebig) vorgegeben.

3) Suche $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} \frac{n^{n} }{n!} \geq b_{n} > epsilon \end{eqnarray*}$

Benutze hierbei die Ungleichung der Mittel (die Herleitung habe ich verstanden):

$\begin{eqnarray*} n! \leq (\frac{n+1}{2} )^{n} \end{eqnarray*}$

4) Weitere Schritte:

$\begin{eqnarray*} \frac{n^{n} }{n!} \geq \frac{n^{n}}{(\frac{n+1}{2})^{n} } = \frac{2^{n} }{(1+\frac{1}{n})^{n} } <br /> \end{eqnarray*}$

5) Anschließend:
$\begin{eqnarray*} <br /> (1+\frac{1}{n})^{n} < (1+\frac{1}{n})^{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \forall n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

6) Und zuletzt:

$\begin{eqnarray*} f_{n} = (1+\frac{1}{n})^{n+1} \end{eqnarray*}$

monoton fallend

7)

$\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n})^{n+1} \leq f_{1} = 4 \end{eqnarray*}$

8) Also gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{n^{n} }{n!} \geq \frac{2^{n} }{4} > epsilon <=> n > log_{2} (4*epsilon) \end{eqnarray*}$

9)Es gilt (warum fällt hier eigentlich das 2log2 in der Rechnung weg?)

$\begin{eqnarray*} <br /> \forall n \geq n_{0}: \frac{n^{n} }{n!} \geq \frac{2^{n} }{4} \geq \frac{2^{n_{0} } }{4} > \frac{2log_{2}(4*epsilon) }{4} = \frac{4*epsilon}{4} = epsilon \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Wie schon gesagt, was eine Folge und deren Konvergenz bzw. Divergenz ist habe ich verstanden. Nur kann ich jetzt hiermit eigentlich nichts anfangen. Mir ist durchaus klar, dass wir eben die Divergenz zeigen sollen. Mein eigentliches Problem ist aber: WAS genau machen wir hier eigentlich? Wollte deshalb mal euren Rat wissen, liebe Community.

Wenn irgendwo Fehler sein sollten, wäre ich euch sehr dankbar, wenn ihr mich darauf hinweisen würdet. Wollte heute während der Öffnungszeiten in die Mathe-Sprechstunde, dumm nur, dass trotzdem keiner da war.

Hab mir auch den Link mal angeguckt, wirklich weiterhelfen konnte der mir allerdings nicht:
https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_für_Nicht-Freaks:_Konvergenz_und_Divergenz_beweisen

Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir bei meiner Frage helfen könntet.

ein großes Dankeschön schon mal im Voraus

nelg

16.04.2016, 08:56

IfindU

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Eindrucksvoll wie kompliziert und notationell schlecht man den Beweis führen kann.

Also $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} \frac { n^n}{n!} = \infty \end{eqnarray*}$ ist nach Definition nichts anderes als "Für alle $\begin{eqnarray*} M > 0 \end{eqnarray*}$ existiert $\begin{eqnarray*} n_0 \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ s.d. für alle $\begin{eqnarray*} n \geq n_0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \frac { n^n } {n!} \geq M \end{eqnarray*}$ .

Hier habe ich das $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ersetzt. Das $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ist traditionell für eine sehr kleine Größe gedacht. Hier will man eine sehr große Zahl haben, daher nimmt man einen anderen Buchstaben. Es ist also für beliebiges $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ein passendes $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ anzugeben. Offenbar findet man $\begin{eqnarray*} \frac {n^n}{n!} \end{eqnarray*}$ zu unhandlich, deswegen sucht man stattdessen eine Folge $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ , s.d. $\begin{eqnarray*} b_n \geq M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac {n^n}{n!} \geq b_n \end{eqnarray*}$ . Hat man die gefunden, so gilt $\begin{eqnarray*} \frac {n^n}{n!} \geq b_n \geq M \end{eqnarray*}$ , insbesondere $\begin{eqnarray*} \frac {n^n}{n!} \geq M \end{eqnarray*}$ und man ist fertig.

Schritte 3 bis 5 sind dafür da ein passendes $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ zu finden. Schritt 6 argumentiert Monotonie, s.d. es ausreicht ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ zu finden mit $\begin{eqnarray*} b_{n_0} \geq M \end{eqnarray*}$ und mit Monotonie folgt dann sofort $\begin{eqnarray*} b_n \geq M \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \geq n_0 \end{eqnarray*}$ .

Schritt 7 und 8 bestimmen ein solches $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und Schritt 9 rechnet nach, dass dann tatsächlich $\begin{eqnarray*} b_{n_0} \geq M \end{eqnarray*}$ . Dort hast du einen Tippfehler. Es steht dort beim Wegfallen des Logarithmus NICHT $\begin{eqnarray*} 2 \cdot \log_2 ... \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} 2^{\log_2 ... } \end{eqnarray*}$ , und da es sich hier um die Umkehrfunktion handelt, ist $\begin{eqnarray*} 2^{\log_2 ... } = ... \end{eqnarray*}$ .

16.04.2016, 11:15

nelg

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Hallo IfindU,

ich danke dir für deine schnelle Antwort Freude

, war schon fast am Verzweifeln! Hab's jetzt zumindest etwas verstanden!
Aber ob du es glauben willst oder nicht, unsere Dozentin hat es genau so (siehe meinen Beitrag, mit Ausnahme meines Tippfehlers) an die Tafel geschrieben. Naja, ich werd's mir dann nochmal genauer anschauen, aber hab das Prinzip zumindest mal grob geschnallt.

Ein großes Dankeschön an der Stelle nochmal! smile

16.04.2016, 13:15

nelg

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Obwohl, jetzt merke ich gerade, dass mir der Übergang zwischen Schritt 3 und 4 bzw. 4 und 5 doch nicht ganz so klar ist Ups

Zwischen 3) und 4):
Habe ich das richtig verstanden, dass diese Ungleichung einfach mit $\begin{eqnarray*} n^{n} \end{eqnarray*}$ dividiert wird und anschließend mit -1 potenziert wird? (also Kehrwert bilden)
Wusste übrigens wirklich nicht, dass bei der Kehrwertbildung sich das $\begin{eqnarray*} \geq bzw \leq \end{eqnarray*}$ umdreht. Erstaunt1

Zwischen 4) und 5) (bzw. sogar 6):
Was ist jetzt da der Zusammenhang? Wieso wird einfach der Nenner aus 4) rausgenommen und im Exponenten +1 draufgezählt? Das leuchtet mir jetzt im Nachhinein doch nicht so ein...

16.04.2016, 15:14

IfindU

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Zitat:

Original von nelg
Zwischen 3) und 4):
Habe ich das richtig verstanden, dass diese Ungleichung einfach mit $\begin{eqnarray*} n^{n} \end{eqnarray*}$ dividiert wird und anschließend mit -1 potenziert wird? (also Kehrwert bilden)

Kann man so sehen, ja.

Zitat:

Original von nelg
Wusste übrigens wirklich nicht, dass bei der Kehrwertbildung sich das $\begin{eqnarray*} \geq bzw \leq \end{eqnarray*}$ umdreht. Erstaunt1

Nun ja, es ist aber so. $\begin{eqnarray*} 2 < 5 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} \frac 1 2 > \frac 1 5 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von nelg
Zwischen 4) und 5) (bzw. sogar 6):
Was ist jetzt da der Zusammenhang? Wieso wird einfach der Nenner aus 4) rausgenommen und im Exponenten +1 draufgezählt? Das leuchtet mir jetzt im Nachhinein doch nicht so ein...

Man "weiß", dass $\begin{eqnarray*} n \mapsto \left ( 1 + \frac 1 n \right)^n \end{eqnarray*}$ monoton wächst, und dass $\begin{eqnarray*} \left ( 1 + \frac 1 n \right)^{n+1} \end{eqnarray*}$ monoton fällt. Da das $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ monoton wachsen soll, soll der Nenner des $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ monoton fallen (siehe Kehrwert und Umkehrung der Ungleichung).

Einfacher wäre es zu sagen $\begin{eqnarray*} \left ( 1 + \frac 1 n \right)^n \leq \left ( 1 + \frac 1 2 \right)^n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \frac { n^n } {n!} \geq \frac {2^n} { \left ( 1 + \frac 1 n \right)^n } \geq \frac { 2^n } {1.5^n} = \left ( \frac 4 3 \right)^n \end{eqnarray*}$ . Aber man wollte es wohl unnötig "subtil" machen.

16.04.2016, 17:18

nelg

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Okay, danke, hat mir jetzt ein wenig die Augen geöffnet.
Großes Dankeschön nochmal! smile

16.04.2016, 17:34

IfindU

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Vlt noch ein leichter Beweis für die Divergenz:
Man beobachte $\begin{eqnarray*} n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (n-1) \cdot n \leq 1 \cdot n \cdot n \cdot ... \cdot n \cdot n = n^{n-1} \end{eqnarray*}$ .

Damit ist $\begin{eqnarray*} \frac {n^n}{n!} \geq \frac { n^n } {n^{n-1}} = n \to \infty \end{eqnarray*}$ .

Ich weiß wirklich nicht was man sich bei dem obigen Beweis gedacht hat.

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