Erzeugen die Vektoren den Vektorraum?

15.04.2016, 21:57	FaithNoMore	Auf diesen Beitrag antworten »
Erzeugen die Vektoren den Vektorraum? Meine Frage: Hallo, ich habe ganz neu das Thema der Basen, Vektorräume, usw. bekommen und weiß nicht wirklich, was ich genau damit anfangen soll. Ich habe mir schon Defintionen etc. durchgelesen, aber trotzdem möchte mir kein Licht bei folgender Aufgabe aufgehen: Sei $\begin{eqnarray} K = \mathbb R \end{eqnarray}$ . Wir betrachten die Vektoren $\begin{eqnarray} v_1 = (2,0,3), v_2 = (1,-2,3), v_3=(0,1,-2) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v_4=(2,1,1) \end{eqnarray}$ . Erzeugen die Vektoren $\begin{eqnarray} v_1,...,v_4 \end{eqnarray}$ den Vektorraum $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ ? Meine Ideen: Ich wünschte, ich hätte schon eine leise Ahnung, worauf die Aufgabe hinaus möchte, aber leider ist dem ganz und gar nicht so... ich weiß, das ist keine gute Basis um nach Hilfe zu schreien, aber ich scheine wirklich ganz und gar festzustecken und leider half auch der Austausch mit meinen Kommilitonen wenig beim Lösen dieser Aufgabe, die genauso ahnungslos sind wie ich. Ich wäre wirklich dankbar für jegliche Hilfe!
15.04.2016, 22:11	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn die Vektoren $\begin{eqnarray} v_1, ..., v_4 \end{eqnarray}$ den Vektorraum $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ erzeugen, bedeutet das: Jeder Vektor aus $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ kann als Linearkombination der Vektoren $\begin{eqnarray} v_1, ..., v_4 \end{eqnarray}$ dargestellt werden. D.h.: Für alle $\begin{eqnarray} x\in\mathbb R^3 \end{eqnarray}$ existieren reelle Zahlen $\begin{eqnarray} a_1, ..., a_4\in\mathbb R \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} x=a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+a_4v_4 \end{eqnarray}$ . Damit hast du ein lineares Gleichungssystem und musst herausfinden, ob für jeden Vektor $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ eine Lösung $\begin{eqnarray} (a_1, ..., a_4) \end{eqnarray}$ existiert.
16.04.2016, 10:30	FaithNoMore	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank erst einmal für Deine schnelle Antwort! Heißt das, ich kann mir von den vier Vektoren drei heraussuchen? Oder muss ich ein Gleichungssystem mit vier Vektoren aufstellen?
16.04.2016, 18:00	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Vektoren sind zwar auf jeden Fall linear abhängig (weil die Anzahl der Vektoren größer ist als die Raumdimension); deswegen könnte man auch mindestens einen Vektor weglassen, ohne dass sich der aufgespannte Raum verändert. Welcher Vektor das ist, kann man aber nicht von vorneherein sagen. Deswegen solltest du mit allen vier Vektoren rechnen.

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