Mehrdeutiges Minimalpolynom?

16.04.2016, 01:52

hahiho

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Mehrdeutiges Minimalpolynom?

Meine Frage:
Die Aufgabe ist eine andere, aber baut darauf auf:
Sei K Körper mit Charakteristik 2, K(a) eine 2-dim. Körpererweiterung.
Was ist das Minimalpolynom von a?

Behauptung: Min.pol. = x^2 + x + c, c aus K

Meine Ideen:
Mein Problem ist:
Wenn ich (x-a)(x-(1+a)) wähle, bekomme ich x^2 + x + a(1+a), was ein Kandidat für das Minimalpolynom wäre.

Wenn ich aber (x-a)(x-(k+a)) = x^2 + k*x + a(k+a) (k aus K) wähle, bekomme ich doch auch ein über K irreduzibles Polynom 2. Grades mit NS a, was aber auch ein Kandidat für das Minimalpolynom wäre. Außerdem ist doch (k+a) in der Basis {1, a} von K(a) darstellbar, also aus K(a).

Warum ist jetzt das erste mein Minimalpolynom und das zweite nicht?

16.04.2016, 09:33

IfindU

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RE: Mehrdeutiges Minimalpolynom?
Ich bin kein Algebraiker, aber es reicht doch nicht, dass $\begin{eqnarray*} k+a \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} K(a) \end{eqnarray*}$ ist, es muss in $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ liegen. Sonst wäre $\begin{eqnarray*} x-a \end{eqnarray*}$ bereits das Minimalpolynom.

16.04.2016, 10:55

Leopold

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Folgende Überlegung:

Sei $\begin{align*} K \end{align*}$ der Körper mit 4 Elementen. Dann gibt es $\begin{align*} 4^2 = 16 \end{align*}$ normierte quadratische Polynome über $\begin{align*} K \end{align*}$ .

* Davon besitzen 4 eines der Elemente von $\begin{align*} K \end{align*}$ als doppelte Nullstelle.
* Und $\begin{align*} {4 \choose 2} = 6 \end{align*}$ besitzen einfache Nullstellen.

Somit verbleiben $\begin{align*} 16-4-6=6 \end{align*}$ über $\begin{align*} K \end{align*}$ irreduzible Polynome. Polynome vom Typ $\begin{align*} x^2 + x + c \end{align*}$ mit $\begin{align*} c \in K \end{align*}$ gibt es aber nur 4, von denen auch noch zwei reduzibel sind (nämlich $\begin{align*} x^2+x \end{align*}$ und $\begin{align*} x^2+x+1 \end{align*}$ ). Also kann nicht jedes über $\begin{align*} K \end{align*}$ irreduzible Polynom vom Typ $\begin{align*} x^2 + x + c \end{align*}$ sein.

16.04.2016, 12:11

3215

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Ok vielleicht habe ich auch etwas falsch verstanden. Also die gesamte Aufgabe lautet:

Sei K ein Körper der Charakteristik 2, und sei L eine Erweiterung von K von Grad 2.

1. Man beweise, dass L von der Gestalt K(a) ist, wobei a eine Nullstelle eines
irreduziblen Polynoms über K der Form x^2 + x + c mit c aus K ist, und zeige, dass
die andere Nullstelle dieser Gleichung gleich a + 1 ist

Vielleicht habt ihr noch andere Ideen wie man das lösen könnte. Ich hänge halt an der Stelle, wo man zeigen soll, dass a eine NS dieses Polynoms x^2 + x + c ist. Also ich dachte man müsste eben alle anderen irreduziblen Polynome von Grad 2 ausschließen aber ich komme immer nur bis

x^2 + bx + c

und das b bekomme ich nicht weg.

16.04.2016, 12:23

Leopold

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Zitat:

Original von 3215
aber ich komme immer nur bis

x^2 + bx + c

und das b bekomme ich nicht weg.

Das b kann man auch nicht wegkriegen.

Zitat:

Original von 3215
1. Man beweise, dass L von der Gestalt K(a) ist, wobei ...

Hm ... vielleicht ist ja auch gar nicht $\begin{align*} L = K(a) \end{align*}$ , sondern $\begin{align*} L \cong K(a) \end{align*}$ gemeint.

16.04.2016, 13:35

3215

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Naja, also K(a) ist isomorph zu K[x]/(min(x)) wobei min(x) das Minimapolynom von a ist. Dass die Erweiterung algebraisch ist, gilt, weil sie endlich ist (Grad 2). Aber ich weiß nicht warum dann das Minimalpolynom die Form x^2 + x + c haben MUSS!

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16.04.2016, 13:56

Leopold

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Zitat:

Original von 3215
Aber ich weiß nicht warum dann das Minimalpolynom die Form x^2 + x + c haben MUSS!

KANN! Wenn die Aussage " $\begin{align*} L \end{align*}$ ist von der Gestalt $\begin{align*} K(a) \end{align*}$ " bedeuten soll, daß $\begin{align*} L \end{align*}$ isomorph zu einem $\begin{align*} K(a) \end{align*}$ ist, dann wäre ja nur zu zeigen, daß es über $\begin{align*} K \end{align*}$ ein irreduzibles Polynom der Gestalt $\begin{align*} x^2 + x + c \end{align*}$ gibt. Und eine symbolische Nullstelle $\begin{align*} a \end{align*}$ dieses Polynoms paßt dann für $\begin{align*} K(a) \end{align*}$ .

16.04.2016, 14:11

3215

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Achsoo! Jetzt wird es mir klar:

Also man kann ja auch andere a adjungieren, die dann auch andere Minimalpolynome haben. Diese Erweiterungen sind aber isomorph zu der mit x^2 + x + c.

Meinst du das?

16.04.2016, 14:14

Leopold

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Ja, das meine ich. Sonst wüßte ich nicht, wie man die Aufgabe verstehen soll.
Bleibt also zu zeigen, daß nicht alle Polynome $\begin{align*} x^2 + x + c \end{align*}$ reduzibel sein können.

16.04.2016, 14:16

3215

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Ok super, vielen Dank für die Hilfe! Freude

Freude

16.04.2016, 15:57

3216

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Tja jetzt habe ich das Problem mit irreduzibel:

$\begin{eqnarray*} x^2 + x + c \end{eqnarray*}$ ist genau dann irreduzibel über $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ , wenn es keine Nullstellen in $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ hat. Angenommen: Sei $\begin{eqnarray*} k \in K \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle von $\begin{eqnarray*} x^2 + x + c \end{eqnarray*}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray*} k^2 + k + c = 0 \end{eqnarray*}$ .
Da $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ bereits isomorph zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_2(b) \end{eqnarray*}$ ist, kann man $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ darstellen als $\begin{eqnarray*} k = k_0b^0+k_1b^1+...+k_{n-1}b^{n-1} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k_i \in \mathbb{F}_2 \end{eqnarray*}$ . Da Charakteristik von $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ 2 ist, folgt:
$\begin{eqnarray*} k^2 = k_0b^0+k_1b^2+...+k_{n-1}b^{2(n-1)} \end{eqnarray*}$ . Nun ist also:

$\begin{eqnarray*} k^2 + k = 2k_0b^0+k_1b^1+(k_1+k_2)b^2+...+k_{n-1}b^{2(n-1)} \end{eqnarray*}$

Welches $\begin{eqnarray*} c \in K \end{eqnarray*}$ kann ich denn jetzt finden, sodass man es nicht durch $\begin{eqnarray*} k^2 + k \end{eqnarray*}$ darstellen kann? Denn dann gäbe es einen Widerspruch und das obige Polynom wäre für dieses c irreduzibel. Wenn ich dieses c habe, bin ich fertig.

16.04.2016, 17:35

Leopold

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Geht es hier nur um endliche Körper? Oder dürfen die Körper auch unendlich sein? Dann wäre $\begin{align*} K = \mathbb{F}_2(b) \end{align*}$ schon hinfällig.

Für den Fall der Endlichkeit würde ich eine kombinatorische Überlegung anstellen. Dabei hilft die Gestalt der Nullstellen, wie sie in der Aufgabe behauptet wird.

Betrachten wir also $\begin{align*} p_c(x) = x^2 + x + c \end{align*}$ mit $\begin{align*} c \in K \end{align*}$ .

1.

Ist $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ Nullstelle von $\begin{align*} p_c(x) \end{align*}$ , so ist auch $\begin{align*} \alpha + 1 \end{align*}$ Nullstelle, egal ob nun $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ in $\begin{align*} K \end{align*}$ oder einem Oberkörper von $\begin{align*} K \end{align*}$ liegt, denn

$\begin{align*} p_c(\alpha+1) = \left( \alpha + 1 \right)^2 + \left( \alpha + 1 \right) + c = \alpha^2 + 1 + \alpha + 1 + c = \alpha^2 + \alpha + c = p_c(\alpha) = 0 \end{align*}$

Insbesondere besitzt $\begin{align*} p_c(x) \end{align*}$ nur einfache Nullstellen.

2.

Betrachte nun Mengen der Art $\begin{align*} \{ \alpha , \alpha+1 \} \end{align*}$ mit $\begin{align*} \alpha \in K \end{align*}$ . Jedes Element von $\begin{align*} K \end{align*}$ liegt in einer solchen Menge, zwei verschiedene Mengen sind aber disjunkt. Somit ist $\begin{align*} K \end{align*}$ disjunkte Vereinigung solcher Mengen. Die Menge $\begin{align*} \{ \alpha , \alpha+1 \} \end{align*}$ ist invariant bezüglich der Addition von 1.
Das Polynom $\begin{align*} p_{\alpha \cdot ( \alpha+1 )}(x) = x^2 + x + \alpha \cdot ( \alpha+1 ) \end{align*}$ ist nun gerade das mit $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ und $\begin{align*} \alpha + 1 \end{align*}$ als Nullstellen. Polynome dieser Art gibt es aber höchstens halb so viele, wie $\begin{align*} K \end{align*}$ Elemente besitzt ( $\begin{align*} \alpha \cdot ( \alpha+1 ) \end{align*}$ verbraucht ja immer zwei Elemente von $\begin{align*} K \end{align*}$ ). Alle anderen $\begin{align*} c \in K \end{align*}$ , die also nicht von der Gestalt $\begin{align*} \alpha \cdot ( \alpha +1 ) \end{align*}$ sind, führen folglich zu irreduziblen Polynomen $\begin{align*} p_c(x) \end{align*}$ .

Jetzt hoffe ich nur, daß ich bei dieser Argumentation nichts übersehen habe ...

16.04.2016, 18:30

3215

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Uff! Ziemlich gute Überlegung. Das sollte es wohl sein.
Dann hoffe ich mal, dass ich dich nicht nochmal beanspruchen muss.

Vielen Dank jedenfalls!! Freude

Freude

16.04.2016, 19:51

3215

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Ist es nicht noch einfacher zu sagen, dass, sobald ein Element $\begin{eqnarray*} c = (a + 1)*a \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} c = a^2 + a \end{eqnarray*}$ , so gilt dies bereits für $\begin{eqnarray*} c + 1 \end{eqnarray*}$ nicht:
$\begin{eqnarray*} c + 1 = a^2 + a + 1 = (a + 1)^2 + a \end{eqnarray*}$ aber die Darstellung $\begin{eqnarray*} a + 1 \end{eqnarray*}$ ist eineindeutig in $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ , das heißt jedes Element lässt sich durch ein $\begin{eqnarray*} a + 1 \end{eqnarray*}$ darstellen. Das bedeutet aber wiederum, dass sich die Darstellung $\begin{eqnarray*} (a + 1)^2 + a \end{eqnarray*}$ nicht durch $\begin{eqnarray*} b^2 + b \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} b \in K \end{eqnarray*}$ ersetzen lässt. Und das heißt, dass $\begin{eqnarray*} c + 1 \end{eqnarray*}$ die Vorderung nicht erfüllt.

16.04.2016, 20:47

Leopold

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So ganz schlau werde ich aus deinen Ausführungen nicht, schon weil im ersten deutschen Satz das Prädikat fehlt. Meinst du, daß $\begin{align*} a^2 + a + 1 \end{align*}$ für kein $\begin{align*} a \in K \end{align*}$ als $\begin{align*} b(b+1) \end{align*}$ mit $\begin{align*} b \in K \end{align*}$ geschrieben werden kann?

Da hätte ich dann den Körper $\begin{align*} K = \{ 0,1,\vartheta,\vartheta+1 \} \end{align*}$ mit 4 Elementen. Es gilt $\begin{align*} \vartheta^2 + \vartheta + 1 = 0 \end{align*}$ , d.h. $\begin{align*} \vartheta \end{align*}$ ist Nullstelle des über $\begin{align*} \mathbb{F}_2 \end{align*}$ irreduziblen Polynoms $\begin{align*} x^2 + x + 1 \end{align*}$ .

Jetzt nehme ich $\begin{align*} a=0 \end{align*}$ (oder $\begin{align*} a = 1 \end{align*}$ ), also $\begin{align*} a^2 + a + 1 = 1 \end{align*}$ . Es gilt aber $\begin{align*} 1 = \vartheta \cdot ( \vartheta + 1 ) \end{align*}$ . Und auch mit $\begin{align*} a = \vartheta \end{align*}$ (oder $\begin{align*} a = \vartheta+1 \end{align*}$ ) funktioniert es nicht: $\begin{align*} a^2 + a + 1 = \vartheta^2 + \vartheta + 1 = 0 = 0 \cdot (0+1) \end{align*}$

Von den vier Polynomen $\begin{align*} x^2 + x, \, x^2 + x + 1, \, x^2 + x + \vartheta, \, x^2 + x + \vartheta+1 \end{align*}$ sind übrigens die ersten beiden von der Form $\begin{align*} p_{a \cdot (a+1)}(x) \end{align*}$ mit $\begin{align*} a=0 \end{align*}$ bzw. $\begin{align*} a = \vartheta \end{align*}$ , also reduzibel, die beiden letzten folglich irreduzibel über $\begin{align*} K \end{align*}$ (siehe meinen vorigen Beitrag).

Oder hattest du etwas anderes im Sinn?
Und offen ist auch noch die Frage nach unendlichen Körpern der Charakteristik 2.

17.04.2016, 14:49

3215

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Es wird nicht ausgeschlossen, dass es unendlich ist. Daher vermute ich auch eine einfachere Lösung dahinter, schon weil es nur eine von zwei Teilaufgaben ist.

Die zweite Teilaufgabe wäre:
Gibt es einen Automorphismus in L mit a -> a+1?

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