Normabschätzung

16.04.2016, 10:18	LaraStern	Auf diesen Beitrag antworten »
Normabschätzung Meine Frage: Betrachte $\begin{eqnarray} n\times n \end{eqnarray}$ Matrix: $\begin{eqnarray} A= \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & .& 0\\ 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & .& . \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & . & .\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & .& . \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1& .& . \\ . & . & . & . & .& .& -1 \\ 0 & . & . & . & .& .& 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Zeige: $\begin{eqnarray} 1 \leq \| \| A\| \|_{2} \leq 2 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich weiß: $\begin{eqnarray} \| \| A\| \|_{2} = \sqrt{\gamma (A^{}A )} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ Spektralradius ist (=größter Eigenwert) $\begin{eqnarray} A^{x} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & .& 0\\ -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & .& . \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & . & .\\ 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & .& . \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1& .& . \\ . & . & . & . & .& .& 0 \\ 0 & . & . & . & .& -1& 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A^{x} \cdot A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & .& 0\\ -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & .& . \\ 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & . & .\\ 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & .& . \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 2& -1& . \\ . & . & . & . & .& .& -1 \\ 0 & . & . & . & .& -1& 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Ist mein Weg zielführend? Kann ich durch die errechnete Matrix den Eigenwert 1 ablesen? Oder bin ich auf dem Holzweg? Lg Lara
16.04.2016, 10:38	LaraStern	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann ich so argumentieren? Durch elementare Zeilenumformungen kann ich diese $\begin{eqnarray} A^{x}A \end{eqnarray}$ auf eine Form bringen in denen nur $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray*}$ en auf der Hauptdiagonalen stehen, welche dann ja den Eigenwerten entspricht? Oder ist das keine zulässige Operation? Lg Lara

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