Integral Partialbruchzerlegung

16.04.2016, 13:07

Runner97

Integral Partialbruchzerlegung

Hallo zusammen, ich habe folgende Aufgabe vor mir liegen:
Lösen Sie folgendes Integral...

$\begin{eqnarray*} \int \frac{3x^{4}-13x^{3}+26x^{2}-26x+13 }{(x^{2}-2x+2)^{3}} dx \end{eqnarray*}$

Als Hinweis wird die Methode der Partialbruchzerlegung angegeben.
Nur leider hat der Nenner hier ja keine reellen Nullstellen, was die ganze Sache zu einem kleinen Problem für mich macht unglücklich

Ich wäre Euch sehr dankbar, wenn man mir helfen könnte.
Liebe Grüße
Runner97

16.04.2016, 13:15

Mathema

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Dann findest du hier unter 2.4 ein passenden Ansatz:

[WS] Partialbruchzerlegung

edit: Ein Tipp noch für die Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} x^2-2x+2=x^2-2x+1+1=(x-1)^2+1 \end{eqnarray*}$

16.04.2016, 16:28

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathema
Ein Tipp noch für die Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} x^2-2x+2=x^2-2x+1+1=(x-1)^2+1 \end{eqnarray*}$

Genau, also de facto Substitution $\begin{align*} u=x-1 \end{align*}$ . Anschließend könnte das hier helfen, einige der in der PBZ entstehenden Terme zu integrieren. Augenzwinkern

17.04.2016, 12:36

Runner97

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Hallo,
zunächst habe ich nun die komplexen Nullstellen 1+i und 1-i berechnet.
Dann beginne ich mit der PBZ:

$\begin{eqnarray*} \frac{3x^{4}-13x^{3}+26x^{2}-26x+13}{(x^{2}-2x+2)^{3}} = \frac{ax+b}{(x-1-i)}+\frac{cx+d}{(x-1-i)^{2}}+\frac{ex+f}{(x-1-i)^{3}}+\frac{gx+h}{(x-1+i)}+\frac{jx+k}{(x-1+i)^{2}}+\frac{lx+m}{(x-1+i)^{3}} \end{eqnarray*}$

Als nächstes dann mit den Nennern multiplizieren?

17.04.2016, 12:42

Mathema

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Noch mal lesen bitte. Der Ansatz ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{3x^{4}-13x^{3}+26x^{2}-26x+13}{(x^{2}-2x+2)^{3}} = \frac{ax+b}{x^{2}-2x+2}+\frac{cx+d}{(x^{2}-2x+2)^{2}}+\frac{ex+f}{(x^{2}-2x+2)^{3}} \end{eqnarray*}$

Nun den Hauptnenner bilden und einen Koeffizientenvergleich machen.

17.04.2016, 12:49

Runner97

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Okay stimmt, sorry.
Aber die errechneten komplexen Nullstellen des Nennerpolynoms der nun 3 Summanden benötige ich dann im nächsten Schritt, um die PBZ für jeden Summanden durchzuführen?

17.04.2016, 12:52

Mathema

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Nein - danach wird integriert. Dafür haben ich und HAL dir Tipps gegeben.

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