Algebra - Vektorräume

16.04.2016, 17:06	IL4Miy	Auf diesen Beitrag antworten »
Algebra - Vektorräume Meine Frage: Folgende Aufgabe ist gestellt. [attach]41368[/attach] Leider weiß ich gar nicht, was das genau bedeuten soll? F ist wohl ein Körper, aber ich weiß nicht was die 3 und die 8 bedeuten soll? Außerdem weiß ich nicht was die Betragsstriche in dem Fall heißen sollen? Meine Ideen: Ich vermute, dass der eingeschränkte Körper eine Menge bildet und ich die Anzahl der Elemente berechnen soll. Mehr weiß ich nicht. Weiß da jemand mehr?
16.04.2016, 17:55	Telperion	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Algebra - Vektorräume $\begin{eqnarray} \mathbb F_8 \end{eqnarray}$ ist der endliche Körper mit $\begin{eqnarray} 8 \end{eqnarray}$ Elementen. $\begin{eqnarray} \mathbb F_8^3 \end{eqnarray}$ meint dann den Vektorraum $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{pmatrix}x_1\\x_2 \\x_3 \end{pmatrix} \| x_1,x_2,x_3 \in \mathbb F_8 \right\} \end{eqnarray}$ . Die senkrechten Striche bedeuten, dass die Kardinalität dieses Vektorraums gemeint ist.
16.04.2016, 19:00	IL4Miy	Auf diesen Beitrag antworten »
@Telperion Welche Elemente sind denn in dem Körper? Ich müsste ja dann die Kombinationen ausrechnen, wie man diese 8 Elemente in (x,y,z) packen könnte und hätte dann die Kardinalität, oder?
16.04.2016, 19:07	Telperion	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wenn du so eine Aufgabe bekommst müsstest du doch gelernt haben, wie endliche Körper aussehen. Habt ihr das nicht behandelt? Genau. Die Kardinalität kannst du sogar berechnen ohne genau zu wissen, wie $\begin{eqnarray} \mathbb F_8 \end{eqnarray}$ aussieht. In jeder Komponente kannst du jedes Element aus dem Körper eintragen. Du hast also drei Mal die Wahl aus allen Körperelementen.
17.04.2016, 12:51	IL4Miy	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein haben wir nicht behandelt. Ich hab nur im Internet gelesen, dass Fp (also die untere Zahl, weiß nicht wie man das in LaTex macht) eine Primzahl ist und der Körper dann mit Restklassen funktioniert. Das scheint hier aber ja nicht der Fall zu sein. Könntest du das vielleicht kurz erläutern? Also ich hätte ja bei x1 8 Möglichkeiten und bei x2 und x3 auch, also 888 = 512 Möglichkeiten. D.h. die Kardinalität ist 512?
17.04.2016, 13:42	Telperion	Auf diesen Beitrag antworten »
Der LaTeX-Code dafür ist \mathbb{F}_8. Also das wundert mich. Wo hast du denn die Aufgabe her, wenn ihr nicht behandelt habt, was $\begin{eqnarray} \mathbb F_8 \end{eqnarray}$ ist? Eine Aussage der Algebra ist, dass es für jede Primzahl $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ und jede natürliche Zahl $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ bis auf Isomorphie genau einen Körper der Ordnung $\begin{eqnarray} p^n \end{eqnarray}$ gibt. Diesen Körper bezeichnet man mit $\begin{eqnarray} \mathbb F_{p^n} \end{eqnarray}$ . Du hast Recht, für $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \mathbb F_p \cong \mathbb Z / p \mathbb Z \end{eqnarray}$ . (Also die Restklassen in $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ modulo $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ ). Falls $\begin{eqnarray} n> 1 \end{eqnarray}$ ist gilt diese Darstellung nicht. Wie du leicht nachrechnen kannst ist $\begin{eqnarray} \mathbb Z / 8 \mathbb Z \end{eqnarray}$ kein Körper. Du kannst das zum Beispiel daran sehen, dass $\begin{eqnarray} [4] \in \mathbb Z / 8\mathbb Z \end{eqnarray}$ ein Nullteiler ist, denn $\begin{eqnarray} [4]\cdot [2] = [8]=[0] \end{eqnarray}$ gilt in $\begin{eqnarray} \mathbb Z / 8 \mathbb Z \end{eqnarray}$ . Deshalb bedient man sich einer anderen Konstruktion. Die Körper der Form $\begin{eqnarray} \mathbb {F}_{p^n} \end{eqnarray}$ konstruiert man als Restklassenringe von $\begin{eqnarray} \mathbb F_{p}[x] \end{eqnarray}$ nach einem irrdeduziblen Polynom in diesem Polynomring. Den endlichen Körper mit $\begin{eqnarray} 8 \end{eqnarray}$ Elementen gibt es nach obiger Ausführung, denn $\begin{eqnarray} 8 = 2^3 \end{eqnarray}$ . Machen wir das mal explizit für $\begin{eqnarray} 8 = 2^3 \end{eqnarray}$ : Das Polynom $\begin{eqnarray} x^3+x+1 \in \mathbb F_2[x] \end{eqnarray}$ ist irreduzibel. Jetzt definiert man $\begin{eqnarray} \mathbb F_8 := \mathbb F_2[x] / (x^3+x+1) \mathbb F_2[x] \end{eqnarray}$ . Dass diese Konstruktion einen Körper liefert kann man allgemein zeigen. Wenn wir das wissen bleibt nur noch zu überprüfen, dass der Restklassenkörper $\begin{eqnarray} \mathbb F_2[x] / (x^3+x+1) \mathbb F_2[x] \end{eqnarray}$ genau $\begin{eqnarray} 8 \end{eqnarray}$ Elemente hat. Ja, deine Ausführungen zur Kardinalität sind richtig. Die Antwort ist $\begin{eqnarray} 8^3 \end{eqnarray}$ .
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