Beispiel für eine nicht-Varietät

16.04.2016, 21:35

Shalec

Beispiel für eine nicht-Varietät

Hallo allerseits,

ich möchte zeigen, dass die ganzen Zahlen keine Varietät über die Reellenzahlen bilden.

Meine Definition einer Varietät ist wie folgt:
$\begin{eqnarray*} \mathbb{A}^n_K \end{eqnarray*}$ ist der affine n-dim. Raum über den Körper K. $\begin{eqnarray*} V\subset \mathbb{A}^n_K \end{eqnarray*}$ heißt Varietät über K, falls endlich viele Polynome $\begin{eqnarray*} f_1,...,f_m\in K[X_1,...,X_n] \end{eqnarray*}$ exsitieren, sodass die Menge
$\begin{eqnarray*} V = \{ x\in K^n\ |\ f_1(x)=...=f_m(x)=0\} \end{eqnarray*}$ gilt.

Nun zu meinem Ansatz:
Ein Polynom $\begin{eqnarray*} f\in\mathbb{R}[X] \end{eqnarray*}$ hat die Darstellung $\begin{eqnarray*} f=\sum\limits_{k=0}^{n}a_kX^k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_i\in\mathbb{R}\ \forall i=1,...,n \end{eqnarray*}$ .

Angenommen $\begin{eqnarray*} V=\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ist eine Varietät, dann gilt $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}=\{t\in\mathbb{R}\ :\ f_1(t)=...=f_m(t)=0\}. \end{eqnarray*}$ Damit hätten die f_1 allerdings gemäß der Kardinalität von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ abzählbar unendlich viele Nullstellen, womit der Grad eines jeden dieser Polynome abzählbar unendlich wäre. Dies widerspricht aber der Definition der Elemente eines Polynomrings. (Nur endlich Folgen, z.B. gemäß Wikipedia..)

Passt das so, oder habe ich hier irgendwas übersehen, ist was technisch unsauber?

Viele Grüße und vielen Dank für die Zeit :-)

17.04.2016, 02:42

10001000Nick1

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Vielleicht etwas umständlich formuliert. Besser wäre: Ein Polynom, das nicht das Nullpolynom ist, besitzt nur endlich viele Nullstellen. (Dann musst du noch begründen, warum man nicht $\begin{eqnarray*} m=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_1=0 \end{eqnarray*}$ (Nullpolynom) wählen kann.)

Genauso zeigt man übrigens, dass jede unendliche echte Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ keine Varietät über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist.

17.04.2016, 15:43

Shalec

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
Vielleicht etwas umständlich formuliert. Besser wäre: Ein Polynom, das nicht das Nullpolynom ist, besitzt nur endlich viele Nullstellen. (Dann musst du noch begründen, warum man nicht $\begin{eqnarray*} m=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_1=0 \end{eqnarray*}$ (Nullpolynom) wählen kann.)

Das ist eine gute Frage. Ich vermute, dass es was mit $\begin{eqnarray*} dim(f\equiv 0)=-\infty \end{eqnarray*}$ zu tun hat. Anhand der mir gegebenen Definitionen sehe ich aber (noch) kein Problem, warum das 0-Polynom nicht zugelassen ist. Ich Arbeite aktuell mit diesem Skript: http://www.mathematik.uni-kl.de/~gathman...g-2013/main.pdf

Das 0-Polynom hat (abzählbar) unendlich viele Koeffizienten =0 und steht damit im Widerspruch zur Definition eines Polynoms aus dem Polynomring von Wikipedia. ABER die Tatsache, dass unendlich viele Koeff. = 0 sind, widerspricht nicht der Definition 0.2 des Skriptes oben. Dort sind Polynome Potenzreihen über n-Variablen mit nur endlich vielen von 0 verschiedenen Koeffizienten.

Übersehe ich da was? Hammer

17.04.2016, 15:56

10001000Nick1

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Ein Polynom (in einer Veränderlichen) $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ über einem Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb K \end{eqnarray*}$ hat die Form $\begin{eqnarray*} f=a_mX^m+...+a_1X+a_0 \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} m\in\mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_1, ..., a_m\in\mathbb K \end{eqnarray*}$ .
Beim Nullpolynom ist $\begin{eqnarray*} m=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_0=0 \end{eqnarray*}$ . Welcher Definition sollte das widersprechen? verwirrt

Der Grad (nicht die Dimension) des Nullpolynoms wird als $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ definiert.

Was ich meinte, ist folgendes: Die Menge $\begin{eqnarray*} V=\{x\in\mathbb R\mid f_1(x)=0\} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ das Nullpolynom ist, ist ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Wenn also $\begin{eqnarray*} \{ x\in K^n\ |\ f_1(x)=...=f_m(x)=0\}=\mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist, dann muss mindestens eines der Polynome $\begin{eqnarray*} f_1, ..., f_m \end{eqnarray*}$ nicht das Nullpolynom sein. Dieses müsste dann aber unendlich viele Nullstellen haben (nämlich alle ganzen Zahlen); Widerspruch.

18.04.2016, 09:24

Shalec

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
Ein Polynom (in einer Veränderlichen) $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ über einem Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb K \end{eqnarray*}$ hat die Form $\begin{eqnarray*} f=a_mX^m+...+a_1X+a_0 \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} m\in\mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_1, ..., a_m\in\mathbb K \end{eqnarray*}$ .
Beim Nullpolynom ist $\begin{eqnarray*} m=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_0=0 \end{eqnarray*}$ . Welcher Definition sollte das widersprechen? verwirrt

Ehm..ja..natürlich. Ich ließ mich in die Irre führen, wegen endlicher und unendlicher Folgen und der Interpretation des Polynoms 0 als unendliche Folge.

Zitat:

Original von 10001000Nick1
Der Grad (nicht die Dimension) des Nullpolynoms wird als $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ definiert.

Wollte ich auch schreiben. Warum da ausgerechnet dim bei raus kam :?

Zitat:

Original von 10001000Nick1
Was ich meinte, ist folgendes: Die Menge $\begin{eqnarray*} V=\{x\in\mathbb R\mid f_1(x)=0\} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ das Nullpolynom ist, ist ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .
Wenn also $\begin{eqnarray*} \{ x\in K^n\ |\ f_1(x)=...=f_m(x)=0\}=\mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist, dann muss mindestens eines der Polynome $\begin{eqnarray*} f_1, ..., f_m \end{eqnarray*}$ nicht das Nullpolynom sein. Dieses müsste dann aber unendlich viele Nullstellen haben (nämlich alle ganzen Zahlen); Widerspruch.

Aus welchem Grund muss eines davon nicht das Nullpolynom sein? Der Widerspruch ist dann ja klar. Aber das ist grad die Stelle, die ich noch nicht verstehe. Liegt das daran, dass in dem Falle, wenn alle Polynome identisch 0 sind gerade $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}\neq \{x\in\mathbb{R}\ :\ f_1(x)=...=f_m(x)=0 \}=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ?

Vielen Dank für deine Mühe!

18.04.2016, 14:08

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Shalec
Liegt das daran, dass in dem Falle, wenn alle Polynome identisch 0 sind gerade $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}\neq \{x\in\mathbb{R}\ :\ f_1(x)=...=f_m(x)=0 \}=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ?

Exakt.

18.04.2016, 19:40

Shalec

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