Kronecker-Delta Beweis

17.04.2016, 11:42	Abstract	Auf diesen Beitrag antworten »
Kronecker-Delta Beweis Hallo, ich muss folgendes zeigen: $\begin{eqnarray} \sum_{j,k=1}^3 \epsilon_{ijk} \epsilon_{mjk} = 2\delta_{im} \end{eqnarray}$ Mein Versuch: $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk} \epsilon_{mjk} = \delta_{im}\delta_{jj}\delta_{kk}+\delta_{ij}\delta_{jk}\delta_{km}+\delta_{ik}\delta_{jm}\delta_{kj} - \delta_{ik}\delta_{jj}\delta_{km}-\delta_{im}\delta_{jk}\delta_{km}-\delta_{ij}\delta_{jm}\delta_{kk} \end{eqnarray}$ Dann haben wir ja zwei Summen, die jeweils bis 3 über j und k gehen, und das ergibt dann: $\begin{eqnarray} 9\delta_{im}+0+0-3\delta_{im}-0-3\delta_{im} \end{eqnarray}$ Da fehlt irgendwie ein \delta_{im}, dass ich abziehen muss. Was habe ich da übersehen? Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen! Gruß abstract
18.04.2016, 09:30	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Rechnungen mit dem Levi-Civita-Tensor $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk} \end{eqnarray}$ werden übersichtlicher, wenn man $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk} \end{eqnarray}$ als Determinante aus Delta-Funktionen schreibt, also $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk}=\begin{vmatrix} \delta_i^1 & \delta_i^2 & \delta_i^3 \\ \delta_j^1 & \delta_j^2 & \delta_j^3 \\ \delta_k^1 & \delta_k^2 & \delta_k^3 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Wie bei jeder Determinante kann man Zeilen und Spalten vertauschen. Zu berechnen ist $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk}\epsilon^{mjk}=\begin{vmatrix} \delta_i^1 & \delta_i^2 & \delta_i^3 \\ \delta_j^1 & \delta_j^2 & \delta_j^3 \\ \delta_k^1 & \delta_k^2 & \delta_k^3 \end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix} \delta_1^m & \delta_1^j & \delta_1^k \\ \delta_2^i & \delta_2^j & \delta_2^k \\ \delta_3^i & \delta_3^j & \delta_3^k \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Bekanntlich gilt für Determinanten zweier Matrizen A, B der Satz $\begin{eqnarray} \|A\|\cdot \|B\|=\|AB\| \end{eqnarray}$ . Multipliziere also die beiden Matrizen wie üblich und berechne deren Determinente. Fasse alles zusammen. Zum Beispiel erhält man für das Matrixelement $\begin{eqnarray} (AB)_{12} \end{eqnarray}$ der Produktmatrix $\begin{eqnarray} \text{(Zeile 1) mal (Spalte 2)}=\delta_i^1\delta_1^j+\delta_i^2\delta_2^j+\delta_i^3\delta_3^j=\delta _i^j \end{eqnarray}$ Ähnlich berechne die 8 anderen Matrixelemente der Produktmatriz. Danach entwickle die Determinante der Produktmatrix mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz nach der 1.Zeile oder Spalte. Dann bereinfacht sich alles... ------------------------------------------- Dieser Rechenweg ist zwar etwas länger, aber übersichtlich. Gerade bei Mehrfachprodukten behält man so die Übersicht.

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