Chinesischer Restsatz

17.04.2016, 11:54

Shizmo

Chinesischer Restsatz

Hallo, ich habe ein kleines Verständigungsproblem und zwar von dieser Aufgabe:

Zitat:

”Wie alt bist Du?“ fragt Andi seine Freundin Carmen. ”So etwas fragt man eine Dame doch nicht“ antwortet diese. ”Aber wenn Du mein Alter durch drei teilst, bleibt der Rest zwei.“ ”Und wenn man es durch fünf teilt?“ - ” Dann bleibt wieder der Rest zwei. Und jetzt sage ich Dir auch noch, daß bei Division durch sieben der Rest fünf bleibt. Nun solltest Du aber wissen, wie alt ich bin.“

Wissen Sie es auch? Ermitteln Sie das Alter von Carmen (1) durch ” schlaues“ Probieren (wobei Sie das naive Durchprobieren aller Zahlen zwischen 1 und 105 vermeiden) und (2) durch Anwenden der Methoden aus der Vorlesung.

Dank dem chinesischen Restsatz bin ich auf 47 gekommen, was auch stimmt, das wäre dann wohl (2). Aber was ist mit (1) gemeint, also mit "schlauen" probieren??

Hat von euch wer eine Idee??

17.04.2016, 12:02

Mathema

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Keine Ahnung, aber das Wort Dame lässt vermuten, dass Carmen zumindest volljährig ist. Big Laugh

Ausgehend von der letzten Bedingung könnte man also prüfen:

19, 26, 33, 40, 47, ...

Das wären 5 Zahlen. Ob das "schlau genug" ist, vermag ich nicht zu beurteilen.

17.04.2016, 12:13

Shizmo

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Vielen Dank für deine Antwort!
Das sieht doch schon mal schlau aus Big Laugh

Nur warum fängst du bei 19 an? und machst 7er Schritte?

Ich könnte auch bei 17 anfangen und in 5er Schritten hochgehen, komme dann auch auf 47, aber ich versteh nicht ganz wie man darauf kommen soll? Bzw. was das für einen Sinn macht.

17.04.2016, 12:14

HAL 9000

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Da sowohl bei Division durch 3 als auch 5 der gleiche Rest herauskommt, ist das auch der Rest bei Division durch 15. Also kommen nur Alter $\begin{align*} 15k+2 \end{align*}$ in Frage. Jetzt kann man ebenfalls die $\begin{align*} k \end{align*}$ durchprobieren, oder aber via $\begin{align*} 15k+2\equiv k+2\bmod 7 \end{align*}$ das passende $\begin{align*} k \end{align*}$ auch schnell berechnen.

17.04.2016, 12:23

Mathema

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Damit ist mein Beitrag wohl hinfällig. Das ist wesentlich schlauer. Freude

Zitat:

Ich könnte auch bei 17 anfangen

Wieso das? unglücklich

17 lässt bei Division durch 7 doch nicht den Rest 5.

17.04.2016, 12:30

HAL 9000

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Ist rum wie num. Ich hab den Beitrag angebracht, weil die Sache mit den gleichen Resten die nette Abkürzung

$\begin{align*} x\equiv a\bmod m \;\wedge\; x\equiv a\bmod n \quad\Longrightarrow\quad x\equiv a\bmod \operatorname{kgV}(m,n) \end{align*}$

ermöglicht - kann man gelegentlich gebrauchen. Augenzwinkern

17.04.2016, 12:31

Shizmo

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Wow super, vielen lieben Dank!! Gott

17.04.2016, 13:21

Shizmo

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Bevor der Thread hier dicht ist, noch eine schnelle Frage, ich hab hier noch ein Verständigungsproblem und zwar:

Zitat:

Finden Sie in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_{48} \end{eqnarray*}$ die zu 5 multiplikative inverse Zahl z.

Was heißt denn das $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_{48} \end{eqnarray*}$ ?

18.04.2016, 17:18

HAL 9000

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Damit ist der Restklassenring modulo 48 gemeint. Gesucht ist hier demnach $\begin{align*} z \end{align*}$ mit $\begin{align*} 5z\equiv 1\bmod 48 \end{align*}$ .

19.04.2016, 00:04

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und um

Zitat:

Nur warum fängst du bei 19 an? und machst 7er Schritte?

auch noch zu beantworten:
Man will möglichst große Schritte machen, damit man nur wenige Zahlen prüfen muss. Die 7 ist der größte Schritt, den man unmittelbar aus der Aufgabenstellung ablesen kann.
Bei Division durch sieben bleibt lt. Aufgabenstellung der Rest fünf und das in Verbindung mit der vermuteten Volljährigkeit gibt den Startpunkt 19

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