Stetige Grenzfunkion einer Reihe

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Patrick1234567 Auf diesen Beitrag antworten »
Stetige Grenzfunkion einer Reihe
Meine Frage:
Hallo,

ich sitze schon seit einiger Zeit an einem Beispiel und mir fällt einfach nicht ein wie ich das angehen soll.

Zeige, dass


auf ganz R gegen eine stetige Grenzfunktion f(x) konvergiert und berechne deren Integral von 0 bis +unendlich.

Meine Ideen:
Bei Reihen und Grenzwerten bin ich leider überhaupt nicht gut. Der Integralteil ist dann kein Problem mehr, aber für den brauch ich erst mal f(x).


Hat jemand Lösungsvorschläge oder wie man das am besten angeht?

LG
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Patrick,

überprüfe bitte einmal die Aufgabenstellung auf Richtigkeit. Für macht die Reihe zum Beispiel garkeinen Sinn.
Patrick1234567 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, da würde man durch 0 dividieren, es sollte



heißen.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe ist so gestellt, dass es nicht möglich ist, die Grenzfunktion geschlossen anzugeben. (Vielleicht mit tiefer liegenden Mitteln, da bin ich mir nicht sicher).

Welche Möglichkeiten, die Konvergenz einer Reihe nachzuweisen, kennst du noch, für die man den Grenzwert nicht exakt kennen muss? Was für Sätze kennst du, die die Stetigkeit der Grenzfunktion garantieren würden, ohne die Grenzfunktion zu kennen?
Patrick1234567 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, da gibts mehrere, der M-Test nach Weierstraß sollte da eine Aussage über die (gleichmäßige) Konvergenz geben (das Intervall/Teilmenge von R ist in dem Fall R selbst). Der wurde vom Prof auch behandelt.

https://de.wikipedia.org/wiki/Weierstra%...rantenkriterium

Nur wie komm ich da auf die Folge der Konstanten M_k um die 2 Kriterien zu prüfen?

1.)
2.)

Laut Wolframalpha sollte auch eine Grenzfunktion auffindbar sein:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum...8n^2+%2B+x^2%29
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Laut Wolframalpha sollte auch eine Grenzfunktion auffindbar sein: http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum...8n^2+%2B+x^2%29


Ja, wie ich sagte, da war ich mir nicht ganz sicher. Ich war mir nur relativ sicher, dass man da nicht mit einfachen Mitteln wird herankommen können sollte, weil insbesondere der Wert für nicht ganz einfach zu ermitteln ist.

Das Weierstraß-Kriterium passt hier doch perfekt. Um auf (nicht in diesem Fall) zu kommen, musst du nun ein bisschen überlegen, wie du den Bruch so abschätzen kannst, dass das unabhängig von wird und die Abschätzung nicht zu grob wird.
 
 
Patrick1234567 Auf diesen Beitrag antworten »

hmm, da x den Nenner nur größer macht, wird der gesamte Bruch durch x nur kleiner. D.h. folgende Abschätzung gilt mal sicher (n ist nur pos, d.h. abs kann man auch weg lassen):



Wenn ich mich richtig erinnere, ist das eine harmonische Reihe mit 1/k^alpha, wobei alpha=2 ist. D.h. diese Reihe konvergiert und ist kleiner als infinity.
Damit haben wir:

--> gleichmäßige Konvergenz ist gezeigt.
Stimmt das soweit?

Jetzt fehlt noch ein Ansatz wie man die richtige Grenzfunktion bekommt.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das stimmt bis hierhin.

Du musst die Grenzfunktion garnicht explizit bestimmen, um etwas über deren Stetigkeit auszusagen. Dafür gibt es Sätze. Einer davon hängt mit gleichmäßiger Konvergenz zusammen. Kennst du ihn?

Noch etwas: Kann es sein, dass du für die Grenzfunktion, anstatt das Integral zu berechnen, stattdessen eher überprüfen sollst, ob das Integral existiert? Wenn ich mich nicht verrechnet habe, ist das nämlich hier nicht der Fall.

Nebenbei: benutzt du das Riemann-Integral oder das Lebesgue-Integral?
Patrick1234567 Auf diesen Beitrag antworten »

In der Angabe steht, dass man das Integral der Grenzfunktion berechnen soll.

Bezüglich Stetigkeit haben wir in dem Zusammenhang nur noch das hier erwähnt:
"Wenn jedes Glied einer Funktionenreihe stetig in einem abgeschlossenen Intervall I = [a,b] ist und die Reihe auf I gleichmäßig gegen f(x) konvergiert, dann:
-) ist f(x) stetig auf I
-) die Reihe darf gliedweise integriert werden (Integral und Summation sind vertauschbar)"

Dass Reihenglieder stetig sind, haben wir mMn schon implizit über die Abschätzung geklärt.

Von Lebesgue hab ich leider noch nie etwas gehört.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Von Lebesgue hab ich leider noch nie etwas gehört.


Kein Problem, deswegen frage ich ja Augenzwinkern

Zitat:
Dass Reihenglieder stetig sind, haben wir mMn schon implizit über die Abschätzung geklärt.


Nicht wirklich. Hätten wir stattdessen die Reihenglieder , würden die die gleiche Abschätzung erfüllen, sind aber offenbar nicht stetig.

Ich denke aber du kannst voraussetzen, dass die stetig sind. Das sind ja gewöhnliche rationale Funktionen. Nun hast du hier allerdings keine Intervalle , sondern das Intervall . Das ist schon etwas anderes. Allerdings lässt sich Stetigkeit lokal prüfen: Wenn du wissen willst, ob die Grenzfunktion in stetig ist, kannst du genausogut prüfen, ob die Grenzfunktion eingeschränkt auf stetig ist und dann kannst du den Satz verwenden.

Zur Integrierbarkeit: Was musst du für die uneigentliche Integrierbarkeit überprüfen?
Patrick1234567 Auf diesen Beitrag antworten »

Integrierbarkeit laut Riemann <=> "Die Funktion f ist genau dann auf [a;b] integrierbar, wenn sie dort beschränkt ist und wenn die Menge ihrer Unstetigkeitsstellen auf dem Intervall eine Nullmenge ist." (D.h. stückweise stetig)

Das sollte also erfüllt sein. Wie ich auf die Funktion komme weiß ich aber trotzdem nicht verwirrt . Vielleicht hilfts zu erwähnen, dass wir das im Zusammenhang mit trigonometrischen Reihen und Fourier-Analyse als Übung bekommen haben.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso willst du denn unbedingt die Grenzfunktion explizit bestimmen? Davon steht doch nichts in der Aufgabe.

Zu dem Kriterium: Es geht um uneigentliche Riemann-Integrierbarkeit, dafür ist was anderes zu prüfen.

Unter anderem muss dafür existieren. Jetzt wende auf den vorher zitierten Satz an und sieh' wie weit du kommst.
Patrick1234567 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte ich brauche die Grenzfunktion unbedingt, aber laut dem Satz darf ich Summe und Integral vertauschen:



Das ist mMn richtig, aber die letzte Reihe ist divergent (harmonische Reihe). Irgendwas stimmt noch nicht...
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, das stimmt. Ich sagte ja schon, dass das Integral nicht existiert..

Eigentlich dürftest du so übrigens nicht argumentieren, denn der Satz gilt nur für kompakte Intervalle. Hier stimmt es trotzdem, du müsstest aber eigentlich umständlicher argumentieren (wie ich im letzten Post beschrieben habe). Das ändert aber nichts am Ergebnis.
Patrick1234567 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, ok, wär schön gewesen wenn was nettes rauskommen würde smile

Danke auf jeden Fall für die große Hilfe!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Patrick1234567
In der Angabe steht, dass man das Integral der Grenzfunktion berechnen soll.


Was ist hier mit "Integral" gemeint? Vielleicht das unbestimmte Integral? Ich glaube, der originale Aufgabentext wäre hilfreich.

Übrigens gilt (sagt Maple)



In kann die Funktion durch stetig/holomorph ergänzt werden.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Was ist hier mit "Integral" gemeint?


Das steht im Ausgangpost. Ein unbestimmtes Integral in geschlossenen Termen findet hier auch nichtmal mehr Mathematica.

Hast du vielleicht eine Idee, wie man mit (einigermaßen) elementaren Mitteln auf die geschlossene Form der Grenzfunktion kommt? Das würde mich interessieren.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann von der (bekannten?) Cotangens-Darstellung (findet man zum Beispiel im Zusammenhang mit Mittag-Leffler in der Funktionentheorie)



ausgehen und muß nur durch substituieren, dann mit durchmultiplizieren und beachten.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dir Freude
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