Integralfunktionen

17.04.2016, 15:08	Amadis23	Auf diesen Beitrag antworten »
Integralfunktionen Meine Frage: Hallo, meine Frage lautet wie folgt: Gibt es allgemeine Lösungen (I_2 bzw. I_1) für folgende beiden Probleme? 1. $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b} \! I_1(x)\cdot r(x) \, dx =\int_{a}^{b} \! I_2(x)\cdot r(x) \, dx ,\int_{a}^{b} \! I_1(x)\cdot g(x) \, dx =\int_{a}^{b} \! I_2(x)\cdot g(x) \, dx ,\int_{a}^{b} \! I_1(x)\cdot b(x) \, dx =\int_{a}^{b} \! I_2(x)\cdot b(x) \, dx \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b} \! I_1(x)\cdot r(x) \, dx =\int_{a}^{b} \! I_1(x)\cdot g(x) \, dx =\int_{a}^{b} \! I_1(x)\cdot b(x) \, dx \end{eqnarray}$ Mir wäre schon mit einer Aussage hinsichtlich der Existenz von Lösungen und ob es endlich viele gibt sehr geholfen. Meine Ideen: Leider ist mir überhaupt nicht klar, wie man solche Gleichungen lösen können sollte. Kann mir jemand helfen? Latex Tags eingefügt. (Guppi12)
17.04.2016, 16:58	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralfunktionen Welche Eigenschaften sollen denn die genannten Funktionen haben? Stetig? Differenzierbar? Riemann-Intregral? Nicht negativ?.... Zur Eindeutigkeit: Betrachte Vielfache einer Lösung I_1 bzw. I_2. Ist das wirklich Schulmathematik?
17.04.2016, 17:19	Amadis23	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz kurz zur Motivation dahinter: die Funktionen I_1 bzw. I_2 repräsentieren elektromagnetische Spektren, die als Stimuli das Auge erreichen; die Funktionen g, b und r stehen für die Effizienz des jeweiligen Rezeptors im Zapfen der entsprechenden Farbe. Die Integrale stellen dann die Gesamtaktivitäten des Rezeptors dar. Die Funktionen sind nicht negativ, müssen aber weder stetig noch differenzierbar sein. Die Gleichungen ergeben sich aus den Bedingungen für Metamerie bzw. Komplementarität. Es gibt definitiv in beiden Fällen eine triviale Lösung (I_1=I_2 bzw. I_1 = const.), die Frage ist aber, wie viele weitere Lösungen es gibt und ob sie sich eindeutig ermitteln lassen. Ich verstehe, dass Vielfache der Lösungen ebenfalls Lösungen sind (zumindest im zweiten Fall). Allerdings erzeugen Spektren der Form a*I im Prinzip die gleiche Farbwahrnehmung, nur bei einer anderen Helligkeit. Für die Helligkeit müsste man vielleicht eine Nebenbedingung einführen.
17.04.2016, 17:47	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielfache sind auch im ersten Fall Lösungen, wenn man I_1 und I_2 mit der gleichen Zahl multipliziert. Du hast im Grunde eine Funktion $\begin{eqnarray} \varphi:V\to \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \varphi(f)=\left(\int_a^b f(x)r(x)\,dx, \int_a^b f(x)g(x)\,dx, \int_a^b f(x)b(x)\,dx \right) \end{eqnarray}$ und suchst Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray} \varphi(f)=(R,G,B) \end{eqnarray}$ Ist V ein Vektorraum von geeigneten Funktionen, dann ist $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ eine lineare Funktion. Also kann man sich zunächst das homogene Problem anschauen um etwas über die Eindeutigkeit zu erfahren. Ob es dann noch eine Lösung des inhomogenen Problems gibt, ist offen. Zunächst wird man sich wohl über V klar werden müssen.
18.04.2016, 15:41	Amadis23	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, mit homogenem Problem ist gemeint: $\begin{eqnarray} \varphi(f)=(0,0,0) \end{eqnarray}$ , oder? Aber was sagt das über die Eindeutigkeit? $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b} \! f(x)\cdot r(x) \, dx = 0 \end{eqnarray}$ ist zum Beispiel ja uneindeutig, und die Lösung kann allenfalls dann eindeutig werden, wenn man die anderen beiden Komponenten hinzunimmt. Wie würde man das aber konkret machen? Ich kann zwar für eine bestimmte Funktion f testen, ob sie eine Lösung ist, aber kann ich die Lösungen auch bestimmen? Was meinst du mit " sich über V klar werden"? Heißt das die "Form" möglicher Lösungsfunktionen einschränken, etwa auf $\begin{eqnarray} f(x)=a\cdot e^{b\cdot(x+c)^2} , a>0 \end{eqnarray}$ ? Es tut mir leid, wenn ich irgendetwas missverstanden habe, mir steht leider nur Schulmathematik zur Verfügung.
18.04.2016, 23:51	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist das homogene Problem. Ist $\begin{eqnarray} \varphi(f)=(R,G,B) \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} \varphi(f+f_0)=(R,G,B) \end{eqnarray}$ für jedes $\begin{eqnarray} f_0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \varphi(f_0)=(0,0,0) \end{eqnarray}$ , d.h. für jede Lösung $\begin{eqnarray} f_0 \end{eqnarray}$ des homogenen Problems. Das ist immer so bei linearen Problemen. Die allgemeine Lösungen des inhomogenen Problems ist eine partikuläre Lösung (das ist was ich gerade f genannte habe) + die allgemeine Lösung des homogenen Problems (das was ich gerade "für jede Lösung $\begin{eqnarray} f_0 \end{eqnarray}$ des homogenen Problems" genannt habe). Wenn also das homogene Problem mehrere Lösungen hat, dann ist das inhomogen Problem entweder gar nicht lösbar oder es hat auch mehrere Lösungen. Die Eindeutigkeit des inhomogenen Problems steht und fällt also mit der eindeutigen Lösbarkeit des homogenen Problems. Ich verwende die - üblichen - Begriffe (homogen, inhomogen, partikulär) , damit du dich bei Bedarf in die Theorie einlesen kannst. Bedenke, dass $\begin{eqnarray} \varphi(f)=(0,0,0) \end{eqnarray}$ gleichbedeutend ist mit $\begin{eqnarray} \int_a^b f(x)r(x)\,dx = \int_a^b f(x)g(x)\,dx = \int_a^b f(x)b(x)\,dx \end{eqnarray}$ Durch die Definition von $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ betrachte ich immer gleich alle drei Komponenten. Sich über V klar werden heißt genau das, was du vermutet hast. Man muss überlegen, wie die möglichen Lösungen überhaupt aussehen können. Sind es Polynomfunktionen? Sind es trigonometrische Funktionen? Abschnittweise konstante Funktionen? .... Habe ich es recht verstanden, dass r, g, b nicht negativ sind, aber weder stetig noch differenzierbar sein müssen?
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19.04.2016, 13:14	Amadis23	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Erklärung zur Eindeutigkeit des inhomogenen Problems, das habe ich jetzt verstanden. Problematischer Weise werden an die Funktion f keine Forderungen gestellt, d.h. es kann sowohl ein Rechteckfunktion als auch eine Glockenfunktion als auch irgendetwas anderes - nur nichtnegativ muss sie sein. Die Funktionen r,g,b sind tabellierte Messwerte (siehe dazu CIE-Tristimulus) Das heißt, diese Funktionen sind gegeben und f ist gesucht. Mein erster Ansatz für das homogene Problem wäre dann den Hauptsatz der Integralrechnung anzuwenden und dann zu differenzieren, das ergibt allerdings keine sinnvollen Lösungen (bis auf die triviale). Partielle Integration funktioniert auch nicht. Ein Freund von mir hatte die Idee die Gleichungen als Faltungen aufzufassen und dann mit Fourier-Transformationen rumzuspielen, aber das ergibt bei mir auch nur die triviale Lösung. Gibt es dazu einen anderen Ansatz oder mache ich etwas falsch?
21.04.2016, 18:07	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Das muss ich mir erst mal zu Gemüte führen. Aber eine Idee mal vorweg: Wenn r,g,b nur tabelliert sind, kannst du doch mit dem Integral analytisch ohnehin nichts anfangen. Interpretiere r,g,b als stückweise konstante Funktionen. Dann kannst du auch die Lösung als stückweise konstante Funktion ansetzen. Damit wird V zwanglos ein endlichdimensionaler Vektorraum und die ganze Aufgabe reduziert sich auf ein lineares Gleichungssystem.

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