Ableitung komplizierter Funktion

17.04.2016, 20:33

DarkIsmael

Ableitung komplizierter Funktion

Hey, ich bin neu hier und habe direkt schon eine kleine Frage^^

Ich habe eine Funktion: $\begin{eqnarray*} V(r) &= D(1 - e^{-a(r-r_0)})^2 \end{eqnarray*}$
Ich würde gerne die Extrema von dieser Funktion berechnen, dazu brauche
ich ja vorerst die erste Ableitung. Das ist jetzt schon ne größere Nummer, weil das Teil
ja ziemlich zusammengesetzt ist. Wenn ich das so betrachte muss ich da vorallem
die Kettenregel anwenden, richtig?

Also meine Schritte waren bis jetzt:

1. Substituieren mit $\begin{eqnarray*} u = 1-e^{-a(r-r_0)})^2 \end{eqnarray*}$ und so Funktion reduzieren:
$\begin{eqnarray*} Du^2 \end{eqnarray*}$
und ableiten:
$\begin{eqnarray*} 2Du \end{eqnarray*}$

2. Die Kettenregel anwenden, weil u ja eine Funktion ist:
$\begin{eqnarray*} 2D(1 - e^{-a(r-r_0)})((-a)(-e^{-a(r-r_0)})) \end{eqnarray*}$

3. Umformen und Substituieren: $\begin{eqnarray*} w &= -e^{-a(r-r_0)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2D(1+w)(-a)w \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} &=(2D+2Dw)(-a)w \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} &=-2Daw-2Daw^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} &=-2Da(-e^{-a(r-r_0)})-2Da(-e^{-a(r-r_0)})^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V'(r)&=e^{-a(r-r_0)}(2Da + 2Da(-e^{-a(r-r_0)})) \end{eqnarray*}$

Ich bin schon etwas länger aus der Schulmathematik draußen, deshalb habe ich keine
Ahnung wie viel von dem Kram (oder ob überhaupt etwas) richtig ist. Wäre schön,
wenn sich das jemand angucken könnte smile

Danke im Voraus,
Alex

17.04.2016, 20:50

DarkIsmael

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Bei der ersten substitution naütlich ohne das )^2

18.04.2016, 09:01

klarsoweit

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RE: Ableitung komplizierter Funktion

Zitat:

Original von DarkIsmael
3. Umformen und Substituieren: $\begin{eqnarray*} w &= -e^{-a(r-r_0)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2D(1+w)(-a)w \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} &=(2D+2Dw)(-a)w \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} &=-2Daw-2Daw^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} &=-2Da(-e^{-a(r-r_0)})-2Da(-e^{-a(r-r_0)})^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V'(r)&=e^{-a(r-r_0)}(2Da + 2Da(-e^{-a(r-r_0)})) \end{eqnarray*}$

Die ganze Rechnung ist einigermaßen überflüssig, denn ausgehend von

Zitat:

Original von DarkIsmael
2. Die Kettenregel anwenden, weil u ja eine Funktion ist:
$\begin{eqnarray*} 2D(1 - e^{-a(r-r_0)})((-a)(-e^{-a(r-r_0)})) \end{eqnarray*}$

hättest du das sofort haben können, wenn du die Faktoren 2D und a in die linke Klammer reinziehst. smile

Nun zur Frage nach Extrema von $\begin{eqnarray*} V(r) = D(1 - e^{-a(r-r_0)})^2 \end{eqnarray*}$ . Statt die Differentialrechnung darauf loszulassen, kann man auch leicht sehen, daß $\begin{eqnarray*} (1 - e^{-a(r-r_0)})^2 \end{eqnarray*}$ niemals negativ ist und als kleinster Wert nur die Null in Frage kommt. Du mußt also nur schauen, wann $\begin{eqnarray*} 1 - e^{-a(r-r_0)} = 0 \end{eqnarray*}$ ist, was ja nicht so schwer zu berechnen ist. Augenzwinkern

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