Äquivalenz von Normen

18.04.2016, 13:42	Matherial	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenz von Normen Meine Frage: Hallo, Ich habe folgende Aufgabe zu lösen: Sei $\begin{eqnarray} V = C([a,b]) \end{eqnarray}$ der Vektorraum aller auf $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ stetigen Funktionen, $\begin{eqnarray} a, b \in \mathbb R \end{eqnarray}$ mit den Normen $\begin{eqnarray} \|\|f_{2}\|\|_{2} = \sqrt{ \int_{a}^{b} \! \|f(x)\|^{2} \, dx } \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|\|f\|\|_{\inf}=\sup_{x \in [a,b]} \|f(x)\|. \end{eqnarray}$ a) Gibt es ein $\begin{eqnarray} \alpha \in \mathbb R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|\|f\|\|_{2} \leq \alpha \|\|f\|\|_{\inf} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} f \in C([a,b]) \end{eqnarray}$ ? b) Gibt es ein $\begin{eqnarray} \beta \in \mathbb R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|\|f\|\|_{\inf} \leq \beta \|\|f\|\|_{2} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} f \in C([a,b]) \end{eqnarray}$ ? Meine Ideen: Zur a: Man könnte entweder eine Funktion zeigen, auf welche es nicht zutrifft oder einen Beweis durchführen, dass es funktioniert. Zum gegenbeweis fällt mir nur trial and error ein. Zum Beweis habe ich folgende Idee: $\begin{eqnarray} \max_{x \in [a,b]} \|f(x)\| \leq \sup_{x \in [a,b]} \|f(x)\| \end{eqnarray}$ Dann kann ich ja mit der Definition der unendlich Norm arbeiten. Bestimmt ist es auch wichtig, dass die Funktionen stetig sind. Aber ich habe diese noch nicht eingebracht. Ich würde diese Aufgabe und den Beweis gerne verstehen, dann muss ich die anderen Aufgaben nicht erfragen lach. Hat jemand einen Ansatz? Viele Grüße und Danke im Vorraus Matherial
18.04.2016, 23:31	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenz von Normen a) Die Idee $\begin{eqnarray} \max_{x \in [a,b]} \|f(x)\| \leq \sup_{x \in [a,b]} \|f(x)\| \end{eqnarray}$ gibt nicht viel her. Wenn das Maximum überhaupt existiert , dann steht dort eine Gleichheit. Nützlicher ist die Abschätzung $\begin{eqnarray} \|f(x)\| \leq \sup_{x \in [a,b]} \|f(x)\| \end{eqnarray}$ , mit der sich das Integral vereinfachen lässt. b) $\begin{eqnarray} \|\|f\|\|_{\inf} \leq \beta \|\|f\|\|_{2} \end{eqnarray}$ bedeutet doch, dass das Maximum von f klein wird, wenn nur das Integral über f klein wird. Und jetzt erinnert man sich, dass das Integral ein Flächeninhalt sein kann und macht ein paar Skizzen von Funktionsgraphen...

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