2^k und weitere Frage

18.04.2016, 14:21	dummbie	Auf diesen Beitrag antworten »
2^k und weitere Frage Meine Frage: Hallo, ich habe zwei Fragen: 1. Wie viel Teilmengen aht eine 10-elementige Menge insgesamt? 2. 7 Schüler werden von einer Liste zufällig ausgeählt. Mit welcher Wkt. haben alle 7 an verschiedenen Wochentagen GEburtstag, wenn die Tage als gleichwahrscheinlich gelten? Ich habe die Lösung von beiden, verstehe sie aber nicht. Deshalb bitte ich draum, mir sie zu erklären. Meine Ideen: Lösung zu 1.) 2^10 Woher kommt die 2? Verstehe das insgesamt nicht. Lösung zu 2): 7!/7^7 Hier verstehe ich, dass 7! die möglichen Permutationen sind, um die Schüler auf die Wochentage zu verteilen. Da die Reihenfolge egal ist, muss durch die Anzahl geteilt werden, die die Tupel zusammenfasst oder? Aber wieso ist das 7^7?
18.04.2016, 15:02	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: 2^k und weitere Frage Zu 1. Es gibt $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Möglichkeiten, 0 Elemente von 10 auszuwählen. Es gibt $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 10 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Möglichkeiten, 1 Element von 10 auszuwählen. Es gibt $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 10 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Möglichkeiten, 2 Elemente von 10 auszuwählen. ... Es gibt $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Möglichkeiten, 10 Elemente von 10 auszuwählen. Damit ist die Anzahl aller k-elementigen Teilmengen zahlenmäßig erfaßt als $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 10 \\ 1 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 10 \\ 2 \end{pmatrix} ...+\begin{pmatrix} 10 \\ 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nach dem Binomischen Lehrsatz ist diese Summe gleich $\begin{eqnarray} (1+1)^{10} \end{eqnarray}$ Zu 2. Stellen wir es uns als Urnenexperiment vor. Es liegen 7 Lose in der Urne. Sieben Schüler gehen nacheinander vorbei und ziehen ein Los. Ohne Einschränkungen wird mit Zurücklegen (und mit Berücksichtigung der Reihenfolge) gezogen, d. h. jeder Schüler hat 7 Möglichkeiten, einen Wochentag zu ziehen, insgesamt sind das also $\begin{eqnarray} 7^{7} \end{eqnarray}$ . Soll jeder Schüler einen anderen Wochentag ziehen, wird ohne Zurücklegen gezogen, d.h. der erste hat 7 Möglichkeiten, der zweite 6 usw., führt insgesamt auf 7! Damit ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit: Anzahl der günstigen Möglichkeiten geteilt durch Anzahl aller Möglichkeiten wie in der Lösung angegeben. P.S.: Auf den Losen stehen natürlich die 7 Wochentage!
18.04.2016, 15:51	dummbie	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: 2^k und weitere Frage Gibt es da keine einfachere Eklrärung als mit dem binom. Lehrsatz???
18.04.2016, 16:08	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: 2^k und weitere Frage Doch, speziell für Deine 10-elementige Menge: Du berechnest alle 11 Binomialkoeffizienten addierst sie auf und prüfst, ob $\begin{eqnarray} 2^{10} \end{eqnarray}$ rauskommt. (Dass die Binomialkoeffizienten jeweils die Anzahl der k-elementigen Teilmengen angeben, müßtest Du allerdings schon vorab anerkennen)

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