Gleichung mit logischen Variablen kürzen

18.04.2016, 16:46

timmay123

Gleichung mit logischen Variablen kürzen

Hallo,
beim Mathe lernen bin ich auf folgende Aufgabe gestoßen:

Darf man in einer Gleichung mit logischen Variablen erweitern oder kürzen?

(a+b)=c <-> (a+b)*d = c*d

Meine erste Überlegung war zuerst die Gleichung "in beide richtungen" zu überprüfen.
Hier kam ich zu dem Ergebnis, dass (a+b)=c --> (a+b)*d = c*d keine Probleme bereitet.
(Es sagt nur aus, dass wenn a+b=c ist, daraus folgt, dass (a+b)*d=c*d ist. Wahrheitstafeln haben hier meine Ergebnis bestätigt. *Hoffe es stimmt* Big Laugh

)

Andersrum bin ich mir jedoch nicht sicher. Wenn ich es mit einem Beispiel ausprobiere wie:
a= falsch; b= falsch; c= wahr; d= falsch,
dann ist ja (a+b)*d = falsch = c*d ABER a+b ist falsch und c wahr.

Ich weiß auch nicht genau, ob ich da überhaupt den richtigen Ansatz gewählt habe. Durch Aufstellen einer Wahrheitstafel habe ich herausbekommen, dass sowohl die Implikation in die eine Richtung, als auch in die andere "Wahr" ergeben, doch auch hier bin ich mir wegen des Beispieles nicht sicher.

Hoffe jemand kann mir bei dem Problem helfen smile

Ich werd noch verrückt mit diesen ganzen W's und F's Hammer

Vielen Dank schonmal

Timmay123

18.04.2016, 17:07

Dopap

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RE: Gleichung mit logischen Variablen kürzen

Zitat:

Original von timmay123

(a+b)=c <-> (a+b)*d = c*d

Bedeuten deine Symbole:

"+" = oder
"*" = und
"<->" = Subjunktion ?

Was bedeutet "="

18.04.2016, 17:20

timmay123

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Genau, wir haben die logischen ausdrücke in boolsche Form gebracht, also

"*" = "und"
"+" = "oder"
"=" = "<=>" also Implikation.

Der Doppelpfeil zwischen den Gleichungen sollte nur zeigen, dass diese jeweils mit d erweitert bzw. gekürzt werden.

Grüße

18.04.2016, 18:29

Dopap

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habe mich oben vertan: "<->"= Bijunktion und demnach ist deine Implikation natürlich die Äquivalenz $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$

Du meinst also

Zitat:

(a+b)=c <-> (a+b)*d = c*d

oder

$\begin{eqnarray*} a \lor b \Leftrightarrow c\Leftrightarrow (a \lor b ) \land d \Leftrightarrow c \land d \end{eqnarray*}$

oder meinst du, dass c keine eigenständige logische Variable so wie a,b,d ist ?

Wenn ja, ist doch nix zu beweisen verwirrt

18.04.2016, 18:47

timmay123

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hm jetzt bin ich etwas verwirrt...

ich habe mal ein Bild von der Aufgabe angehängt.

Ich hatte die Aufgabe so aufgefasst, dass man begründen soll, ob man die Gleichung
$\begin{eqnarray*} a\vee b = c \end{eqnarray*}$
mit d erweitern darf, so dass danach die Gleichung
$\begin{eqnarray*} (a\vee b)\wedge d = c\wedge d \end{eqnarray*}$
lautet. Oder eben andersrum kürzen.
Wobei das gleichzeichen eigentlich am sinnvollsten die Äquivalenz wäre, also der beidseitige Doppelpfeil.

18.04.2016, 19:26

Dopap

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auf jeden Fall ist Folgendes keine Tautologie:

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:


A B C D  |  (((A v B) <-> C) <-> ((A v B) & D)) <-> (C & D)
  ---------+-------------------------------------------------
  1 1 1 1  |       1     1      1      1    1     *1*    1   
  1 1 1 0  |       1     1      0      1    0     *1*    0   
  1 1 0 1  |       1     0      0      1    1     *1*    0   
  1 1 0 0  |       1     0      1      1    0     *0*    0   
  1 0 1 1  |       1     1      1      1    1     *1*    1   
  1 0 1 0  |       1     1      0      1    0     *1*    0   
  1 0 0 1  |       1     0      0      1    1     *1*    0   
  1 0 0 0  |       1     0      1      1    0     *0*    0   
  0 1 1 1  |       1     1      1      1    1     *1*    1   
  0 1 1 0  |       1     1      0      1    0     *1*    0   
  0 1 0 1  |       1     0      0      1    1     *1*    0   
  0 1 0 0  |       1     0      1      1    0     *0*    0   
  0 0 1 1  |       0     0      1      0    0     *1*    1   
  0 0 1 0  |       0     0      1      0    0     *0*    0   
  0 0 0 1  |       0     1      0      0    0     *1*    0   
  0 0 0 0  |       0     1      0      0    0     *1*    0

die konjunktive Normalform (KNF) ist:

code:
1:	(~A v C v D) & (~B v C v D) & (~C v A v B v D)

19.04.2016, 14:22

timmay123

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okay erstmal danke für die Mühe,

also müsste die Wahrheitstafel ausreichen um zu begründen dass man nicht bei solchen Gleichungen beliebig kürzen oder erweitern kann, da es keine Tautologie ist?

Grüße

19.04.2016, 15:32

Dopap

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sieht so aus.

Mir ist allerdings nicht klar was deine Gleichheitszeichen und deine Gleichung bedeutet.

Manche verstehen darunter eine Formel wie a+b=b+a . Was aber in Logik Gleichwertigkeit bedeutet, also a+b <=> b+a
Nur c=a+b ist seltsam, ist das eine logische Funktion eine Zuordnung?

Mach dich mal schlau.

19.04.2016, 15:51

Dopap

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Ich habe das nochmals überprüft:

(A v B <-> C) -> ((A v B)& D <-> C&D)

ist eine Tautologie

((A v B)& D <-> C&D) -> (A v B <-> C)

ist keine Tautologie! Augenzwinkern

19.04.2016, 16:07

timmay123

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okay klasse,
dann hatte ich wohl in der zweiten Wahrheitstafel irgendwo einen Fehler.
Dankeschöön smile

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