Gewöhn. DGL - Folgerungen aus der Stetigkeit der rechten Seite

18.04.2016, 18:36

muff-in

Gewöhn. DGL - Folgerungen aus der Stetigkeit der rechten Seite

Folgende Übungsaufgabe

[attach]41386[/attach]

Kurzfassung: Es sei eine explizite Differentialgleichung gegeben, und mal solle zeigen dass aus der Stetigkeit von der rechten Seite die Setigkeit der kten Ableitung von Phi (der Lösungsfunktion) folgt.

Aber die kte Ableitung von Phi bezeichnet doch gerade die rechte Seite einer expliziten DGL? Also ist die Kte Ableitung von Phi stetig, falls die rechte Seite stetig ist, weil beide ja das gleiche sind. Also folgt die Behauptung sofort. Allerdings scheint mir dann die Übungsaufgabe viel zu leicht, deswegen wollte ich nochmal nachfragen. Was habe ich falsch verstanden?

Wir haben im Skript folgendes definiert

[attach]41387[/attach]

wobei (1.5.) besagt dass Phi eine Ableitung von I nach K^n ist. (K ist R oder C).

Für Tipps wäre ich sehr dankbar!

18.04.2016, 20:04

10001000Nick1

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"Stetigkeit der rechten Seite" bedeutet: Die Funktion $\begin{eqnarray*} G\ni (x_1, x_2, ..., x_{k+1})\mapsto f(x_1, x_2, ..., x_{k+1})\in\mathbb K^n \end{eqnarray*}$ ist stetig. Also als Funktion in $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Variablen.

"Stetigkeit der k-ten Ableitung von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ " bedeutet: Die Funktion $\begin{eqnarray*} I\ni x\mapsto \phi^{(k)}(x)=f(x, \phi(x), \phi'(x), ..., \phi^{(k-1)}(x))\in\mathbb K^n \end{eqnarray*}$ ist stetig. Dieses mal als Verkettung.

Siehst du den Unterschied?

18.04.2016, 20:27

muff-in

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Nein nicht wirklich. Die x_1, x_2, x_3 etc in der "rechten Seite" sind ja gerade die x, phi(x) und weitere Ableitungen und die Stetigkeit der k-ten Ableitung von Phi bedeutet doch, dass die Abbildung x -> phi^(k)(x) stetig ist. Und das ist ja gerade die rechte Seite der Differentialgleichung.

Könntest du mir den Unterschied an einem konkreten Beispiel zeigen?

18.04.2016, 21:52

HAL 9000

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Zitat:

Original von muff-in
und die Stetigkeit der k-ten Ableitung von Phi bedeutet doch, dass die Abbildung x -> phi^(k)(x) stetig ist

Die sollst du doch aber gerade erst noch nachweisen!

Vielleicht unterliegst du folgendem Irrtum: Die Existenz einer Ableitung heißt noch nicht notwendig, dass diese Ableitung auch stetig ist. Augenzwinkern

18.04.2016, 22:25

muff-in

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Nein tut mir leid mir ist das einfach überhaupt nicht klar. Also warum genau stimmt meine Argumentation im ersten Beitrag nicht?

Bitte, könnte mir jemand die Aufgabenstellung Schritt für Schritt für Dummies erklären? Vielleicht mit einem Beispiel? Ich verzweifle nämlich bisschen und ich würde es wirklich gerne verstehen, aber aus euren Antworten werde ich einfach nicht schau. =(

@HAL9000: Nein diesem Irrtum unterliege ich eigenlich nicht. und das was ich nachweisen sollte, ist doch gerade druch die Aufgabenstellung vorgegeben da die kte Ableitung von Phi f entspricht (was ja scheinbar doch nicht korrekt ist)

18.04.2016, 22:36

HAL 9000

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Das Problem ist: Jede genauere Erläuterung der Aufgabenstellung beinhaltet praktisch die Lösung.

Aber wenn jemand anderes noch Hinweise geben will, nur zu.

18.04.2016, 22:47

muff-in

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Okay dann mach ich mal ein Beispiel und HAL9000 vielleicht kannst du mir meinen Denkfehler zeigen:

Sagen wir die explizite DGL ist y' = 2x
Dann ist ja f = 2x und f = die erste Ableitung von Phi; Phi = x^2

Nach der Aufgabenstellung ist zu zeigen: Falls f stetig ist, ist die kte Ableitung von Phi auch stetig.

In unserem Fall ist k = 1
f entspricht der kten Ableitung von Phi.
Wenn f stetig ist ist die kte Ableitung von Phi sowieso stetig, da beide gleich sind.

Jetzt habt Ihr ja gesagt, f und die kte Ableitung von Phi sind nicht gleich.
Was genau (in diesem Beispiel (!)) ist dann f und in welcher Beziehung zur kten Ableitung von Phi steht es? 10001000Nick1 hat es ja ausgeschrieben, aber ich verstehs einfach nicht.
Kannst du es villt anders aufschreiben?

Welche Werte weist f welchen anderen Werten in diesem Beispiel zu?

19.04.2016, 07:53

HAL 9000

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Ich nenn mal ein anderes Beispiel, für k=1:

$\begin{align*} f(x,y) = x+y \end{align*}$ ist stetig in beiden Variablen $\begin{align*} x,y \end{align*}$ . Jetzt betrachte ich (wie in der Problemstellung) die Funktion $\begin{align*} x\mapsto f(x,y(x)) \end{align*}$ für die Beispielfunktion

$\begin{align*} y(x) = \begin{cases} \frac{1}{x} &\;\mbox{für}\; x\neq 0\\ 0 &\;\mbox{für}\; x=0\end{cases} \end{align*}$ ,

dann ist

$\begin{align*} f(x,y(x)) = \begin{cases} x+\frac{1}{x} &\;\mbox{für}\; x\neq 0\\ 0 &\;\mbox{für}\; x=0\end{cases} \end{align*}$

aber eine unstetige Funktion in $\begin{align*} x \end{align*}$ . Du musst nun beweisen, dass derartiges bei dir nicht passieren kann - das ist es, worum sich der Beweis dreht. Und in der Beziehung habe ich von dir bisher nichts Schlüssiges gehört.

22.04.2016, 11:21

muff-in

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Naja, aber soweit ich das verstanden habe, ist y(x) = 1/x auch keine Lösung der DGL f(x,y) oder ?

Kann ich Argumentieren:

Wenn f stetig ist, muss die kte Ableitung von Phi auch stetig sein, da f als Argument x, Phi und Ableitungen von Phi enthält, also eine Kombination aus Stetigen - und falls Ableitungen von Phi vorkommen, differenzierbaren Funktionen ist - und eine Kombination von Stetigen Funktionen muss wieder stetig sein, also ist die kte Ableitung von Phi stetig ?

22.04.2016, 11:32

HAL 9000

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Ja, das in etwa ist es: Die Verkettung stetiger Funktionen ist wieder stetig.

Allerdings wirfst du ganz selbstverständlich ein, dass die $\begin{align*} \phi(x),\phi'(x),\ldots,\phi^{(k-1)}(x) \end{align*}$ alle stetig sind - ohne deutliche Begründung. Deswegen hatte ich oben ja betont, dass Differenzierbarkeit allein noch nicht Stetigkeit der entsprechenden Ableitung bewirkt!

22.04.2016, 11:50

muff-in

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Ja stimmt, du hast recht, jede differenzierbare Funktion ist stetig aber die ke Ableitung von Phi muss ja nicht unbedingt nochmal differenzierbar und somit stetig sein.

Allerdings war ich vom Verständnis noch nicht so weit, als du die Anmerkung geschrieben hast. Big Laugh

Okay aber ich könnte ja sagen:
Annahme: f ist eine Verkettung von Stetigen Funktionen
Dann folgt dass f stetig sein muss.
Wenn allerdings f stetig ist und es als Kombination von anderen Funktionen darstellbar ist, müssen diese sowieso stetig sein.

Ist das so logisch? Oder wie kann man die Aufgabe Beweis richtig zeigen? Und was ist mit den Definitionsbereichen? Die müssen doch auch ineinander verschachtelt sein oder?

Zweiter Teil der Aufgabe:
Falls f differenzierbar ist, existiert die k+1 te Ableitung von Phi:
Wenn f differenzierbar ist, muss sie in jedem Fall stetig sein, und eine Differenzierbare und Stetige Funktion kann ich immer Ableiten.

Stimmt das auch ?

22.04.2016, 14:11

HAL 9000

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Ich fass nochmal zusammen: Die Existenz der Ableitungen $\begin{align*} \phi^{(j)} \end{align*}$ allein macht sie noch nicht stetig. Erst das Wissen darum, dass sie zumindest in den Fällen $\begin{align*} j=0,1,\ldots,k-1 \end{align*}$ via $\begin{align*} \phi^{(j+1)} = \left( \phi^{(j)} \right)' \end{align*}$ wenigstens noch ein weiteres mal differenzierbar sind (das folgt aus dem generellen Wissen hier bei dieser DGL, dass $\begin{align*} \varphi^{(k)} \end{align*}$ existiert), macht sie dann notwendigerweise auch stetig (denn Stetigkeit ist ja eine der notwendigen Voraussetzungen für Differenzierbarkeit).

Für $\begin{align*} j=k \end{align*}$ , also $\begin{align*} \varphi^{(k)} \end{align*}$ funktioniert dieser Schluss indes nicht. Aber hier greift dann die obige Verkettung in der rechten Seite der DGL, um auch für $\begin{align*} \varphi^{(k)} \end{align*}$ die Stetigkeit nachzuweisen.

Genauso im zweiten Teil: Wieder wissen wir, dass $\begin{align*} \phi^{(j)} \end{align*}$ zumindest für $\begin{align*} j=0,1,\ldots,k-1 \end{align*}$ differenzierbare Funktionen sind. Gemeinsam mit dem diesmal differenzierbaren $\begin{align*} f \end{align*}$ geht es nun um die Verkettung differenzierbarer Funktionen...

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