Endliches Produkt und endlicher Schnitt von Idealen

18.04.2016, 19:39

Shalec

Endliches Produkt und endlicher Schnitt von Idealen

Hallo,
vermutlich ist die Aufgabe ganz leicht... Ich will zeigen, dass in einem Kommutativen Ring R mit 1 für die paarweise koprimen R-Ideale $\begin{eqnarray*} I_1,...,I_n \end{eqnarray*}$ gilt, dass $\begin{eqnarray*} I_1\cdots I_n = I_1\cap ... \cap I_n \end{eqnarray*}$ .

Zum Beweis habe ich das Problem, dass ich nicht sehe, wofür ich die koprim-Eigenschaft benötige..

" $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ " Per Definition ist $\begin{eqnarray*} I_1\cdots I_n = (\{ \prod\limits_{i=1}^{n} a_i\ |\ a_i\in I_i \})\subseteq R \end{eqnarray*}$ . Da jedes $\begin{eqnarray*} I_i \end{eqnarray*}$ ein R-Ideal ist, gilt $\begin{eqnarray*} \forall a\in I_1\cdots I_n\ \Rightarrow a\in I_i\ \forall i=1,...,n \end{eqnarray*}$ , da jeder Summand des Erzeugnisses einen Faktor aus $\begin{eqnarray*} I_i \end{eqnarray*}$ enthält.

" $\begin{eqnarray*} \supseteq \end{eqnarray*}$ " Da R ein Ring mit 1 ist, existieren für alle i=1,...,n $\begin{eqnarray*} a_i\in I_i \end{eqnarray*}$ s.d. $\begin{eqnarray*} 1=\sum\limits_{k=1}^{n} a_k \end{eqnarray*}$ . *(hierzu später was)
Sei nun $\begin{eqnarray*} a\in I_1\cap ...\cap I_n \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} a= a\cdot 1= a\cdot \sum\limits_{k=1}^{n} a_k=\sum\limits_{k=1}^{n} aa_k\in I_1\cdots I_n \end{eqnarray*}$ .

Zu *) irgendwie habe ich im Gefühl - bin mir aber nicht sicher - dass hier die Koprimität verwendet wird? Koprim ist definiert für Ideale I, J und es gilt I+J=R.
D.h. $\begin{eqnarray*} aR = a(I+J)=aI+aJ \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} I\cap J = (I\cap J) \cdot R = (I\cap J)\cdot (I+J)=I\cap J \cdot I + I\cap J \cdot J \end{eqnarray*}$

Viele Grüße und vielen Dank für die Investition :-)

18.04.2016, 20:58

tatmas

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Hallo,

generell gilt in kommuativen Ringen

$\begin{eqnarray*} (I \cap J )(I+J)=(I \cap J)I +(I \cap J )J \subseteq JI +IJ =IJ \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} IJ \subseteq I \cap J \end{eqnarray*}$
damit folgt direkt der Fall n=2.

19.04.2016, 09:53

Shalec

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Zitat:

Original von tatmas
Hallo,

generell gilt in kommuativen Ringen

$\begin{eqnarray*} (I \cap J )(I+J)=(I \cap J)I +(I \cap J )J \subseteq JI +IJ =IJ \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} IJ \subseteq I \cap J \end{eqnarray*}$
damit folgt direkt der Fall n=2.

D.h. du spielst auf eine Induktion an?
Ich hatte gehofft, dass das nicht nötig ist.

Zitat:

Original von tatmas
$\begin{eqnarray*} (I \cap J)I +(I \cap J )J \subseteq JI +IJ =IJ \end{eqnarray*}$

Das hatte ich in meinen Betrachtungen vollkommen ausgeblendet, dabei ist es ja total offensichtlich. :S

Viele Grüße und Danke

Edit: Im Induktionsschritt n -> n+1 gilt doch dann relativ analog:
$\begin{eqnarray*} \begin{array}{rcl} I_1\cap...\cap I_{n+1}&=& (I_1\cdots I_n)\cap I_{n+1} &=& ((I_1\cdots I_n)\cap I_{n+1})I_n + ((I_1\cdots I_n)\cap I_{n+1})I_{n+1} &\subseteq& I_1\cdots I_n\cdot I_{n} +(I_1\cdots I_n)\cdot I_{n+1} &=& I_1\cdots I_{n+1} &\subseteq& I_1\cap...\cap I_{n+1} \end{array} \end{eqnarray*}$
Die andere Inklusion folgt dann aus der Definition.

21.04.2016, 21:13

Shalec

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Sind denn meine Folgerungen hier korrekt gewesen? smile

Korrekter oder schöner wäre doch:

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{rcll} (I_1\cap...\cap I_{n+1})\cdot I_{n} +(I_1\cap...\cap I_{n+1})\cdot I_{n+1} &\subseteq & (I_1\cap...\cap I_n)\cdot I_{n+1} \quad& da\ \bigcap\limits_{j=1}^{n} I_j\ R-Ideal &=& I_1\cdot...\cdot I_{n+1}& per\ IV \end{array} \end{eqnarray*}$

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