Orientierungserhaltend beziehungsweise orientierungsumkehrend

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AnnaNatascha Auf diesen Beitrag antworten »
Orientierungserhaltend beziehungsweise orientierungsumkehrend
Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich habe ein paar kleinere Fragen, zunächst einmal das Grundlegende, hierzu ein kleiner Skripteintrag:
[attach]41394[/attach]
Grundlegend ist mir nicht ganz klar: Ich schaue mir zum Beispiel wie unten 3 Vektoren an, verschiebe diese oder spiegel....je nachdem was gegenen ist...Wo lese ich dann hab, dass die Spiegelung oder ähnliches orientierungsumkehrend ist? Wenn meine Determinate kleiner 0 ist oder wenn mein Normalenvektor sich verändert, sich also das Vorzeichen dreht? (Bei der Spiegelung der 2 Tangentialvektoren und des Normalenvektors vom Nordpool am Ursprung entsteht beim Aufstellen der Matrix ja die Determinante -1 und der Normalenvektor hat sich auch verändert, was ist hier ausschlaggebend?)
Ich habs schon beides gesehen, und manche Quellen find ich auch ein wenig wiedersprüchlich, daher bin ich nun etwas verwirrt, vielleicht kann mir ja jemand weiterhelfen.

Meine Ideen:
Nun zu dem Beispiel unten im Skript.
Wir haben die 3 Vektoren am Nordpool und verschieben diese nun auf der Kreislinie in den Südpool, daher entstehen die 3 "neuen" Vektoren...soweit ist mir das ganze klar...
Nun wird aber ein -id eingeführt, woher kommt denn das und was passiert denn plötzlich mit meinen Vektoren?
Ich kann gar nicht nachvollziehen, wie ich plötzlich auf die Matrix komme...

Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen?
Wäre super nett, denn umso mehr ich mich durch Quellen forste, umso weniger Verständnis haben ich ;-(

Vielen lieben Dank schon einmal!
AnnaNatascha Auf diesen Beitrag antworten »

Hat wirklich niemand eine Idee?
Ich bin immer noch ein wenig planlos...und wäre für jede Anmerkung sehr dankbar.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Vermutlich wissen (bei allem Respekt) die meisten Lehrer das nicht. Diese Frage sollte besser im Hochschulbereich gestellt werden. Lehrer
AnnaNatascha Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt wahrscheinlich, aber ich habe schon zwei Fragen zu diesem Thema (Knotentheorie) im Hochschulforum gepostet und auch darauf keine Reaktion erhalten ;-(
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Hast Du nicht ein paar einfachere Fragen ? Augenzwinkern Wo nimmst Du so schwierige Fragen her ?
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-id ist einfach "The reflection of S^2 at the origin"
 
 
AnnaNatascha Auf diesen Beitrag antworten »

;-)

Genau, bei -id handelt es sich um die Spiegelung am Ursprung...also mittlerweile bin ich soweit:
Da -id keinen Fixpunkt auf der Sphäre hat muss man sich einen Punkt herausnehmen (hier zum Beispiel den Nordpol), der auf seinen Bildpunkt (zum Beispiel den Südpol) abgebildet wird.

Die Vektoren am Nordpol sind gerade meine Einheitsvektoren, wobei (0/0/1) der Normalenvektor, durch Verschiebung entlang der Kreislinie erhalte ich dann die Vektoren im Südpol: (-1/0/0), (0/1/0) und (0/0/-1)

Soweit ich es verstanden habe schau ich mir die Determinante der Abbildung -id an, wobei die Einheitsnormalenvektoren vom Nordpol abgebildet werden. Die Determinante ist dann offensichtlich -1 und somit ist die Abbildung orientierungsumkehrend.

Das einzige was mir noch nicht ganz klar ist: Für was habe ich denn jetzt meine Vektoren im Südpol gebraucht? Die verwende ich doch dann gar nicht mehr...
Vielleicht hat da jemand von euch eine Idee (ich hab nur gesagt bekommen, dass man sich den Bildpunkt, also den Südpol anschauen muss, weil die Abbildung keinen Fixpunkt hat).

Vielen lieben Dank schon einmal für alle weiteren Anmerkungen.
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Für mich sieht es so aus, als wäre orientierungserhaltend definiert als "Erhaltung eines orthonormalen Rechtssystems".
Das heißt: Du nimmst zwei Einheitsvektoren v_1, v_2, die zueinander senkrecht sind. Die beiden ergänzt du durch den Einheitsvektor v_3 zu einem Rechstsystem (das ist auf genau eine Weise möglich)
Jetzt betrchtest du -v_1 und -v_2 und ergänzt die durch den Einheitsvektor w zu einem Rechtssystem.
Ist w = -v_3, dann wäre -id orientierungserhaltend, sonst ist es das nicht.
AnnaNatascha Auf diesen Beitrag antworten »

okay, also deiner Meinung nach betrachte ich -v_1 und -v_2 wegen der Abbildung -id?
Aber wenn doch jetzt w = -v_3 wäre, dann hätten doch alle Vektoren ein negatives Vorzeichen und (-1)*(-1)*(-1)=-1, also orientierungsumkehrend?
Ich verstehe nicht ganz wie du auf orientierungserhaltend kommst...
Und die Vektoren am Südpol tauchen hier doch auch nicht auf, oder?

Vielen lieben Dank für die Bemühungen! Gott
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Zitat:

okay, also deiner Meinung nach betrachte ich -v_1 und -v_2 wegen der Abbildung -id?

Ja.

Zitat:

Aber wenn doch jetzt w = -v_3 wäre, dann hätten doch alle Vektoren ein negatives Vorzeichen und (-1)*(-1)*(-1)=-1, also orientierungsumkehrend?

Vektoren haben überhaupt kein Vorzeichen. Ich sehe auch nicht, was drei Minuszeichen mit der Orientierungserhaltung zu tun haben.

Zitat:

Ich verstehe nicht ganz wie du auf orientierungserhaltend kommst...

Ich habe nicht behauptet, dass -id orientierungserhaltend ist.
Zitat:

Und die Vektoren am Südpol tauchen hier doch auch nicht auf, oder?

Du startest am Nordpol. Wo landest du durch -id?
AnnaNatascha Auf diesen Beitrag antworten »

Klar lande ich durch -id im Südpol, aber ich hatte davor ja die Vektoren bestimmt, (im Südpol) die sich ergeben, wenn ich die beiden Tangentialvektoren und den Normalenvektor im Nordpol nimmt und diese entlang einer Kreislinie in den Südpol verschiebt.
Und die Vektoren die dort entstehen, also (-1/0/0), (0/1/0) und (0/0/-1), tauchen doch in meiner Berechnung zur Orientierungsumkehr im Skript nie wieder auf, oder? Für was habe ich dass dann gemacht, also die Vektoren durch Verschiebenung bestimmt?

Das ist mir nicht ganz klar...

Vielen lieben Dank für jeden noch so kleinen Hinweis Freude
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Da musst du den Autor schon selbst fragen, warum er das getan hat. Big Laugh
Ich kann nur spekulieren. Vielleicht wollte er an einem einfachen Beispiel zeigen, was Orientierungserhaltung gemäß seiner Definition bedeutet. Oder es gibt noch eine Bedingung an S, die in dem Textausschnitt nicht beschrieben ist, und die er damit verifiziert (es gibt mindestens eine orientierungserhaltende Abbildung).
AnnaNatascha Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, vielen lieben Dank für deine Ideen!

Das doofe ist, dass der Autor in en USA sitzt, aber ich denke ich werde ihn trotzdem per E-Mail kontaktieren, da niemand so wirklich "durchblickt" und er sich ja sicherlich etwas dabei gedacht hat.

Wink
AnnaNatascha Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe jetzt relativ schnell eine Rückmeldung bekommen.

Der Dozent von dem das Skript stammt meinte dass das falsch wäre, auch wenn er das in der Vl damals genauso angeschrieben hatte: "The reflection of S2 at the origin is orientation-reversing."
Er meinte es wäre orientierungserhaltend.

Jetzt verstehe ich nur noch Bahnhof weil der Dozent bei dem ich mich prüfen lasse mir das als umkehrend verkauft hat und es versucht hat zu erklären...
Beide Ansätze kann ich leider aber nicht 100% nachvollziehen...

Wenn die Abbidlung doch jetzt aber erhaltend wäre, macht das Sinn? Die Abbildung ist doch gerade -id, das heißt die Determinante ist negativ...wie soll dass denn dann orientierungserhaltend sein?

Sorry aber im meinem Hirn herrscht viel Wirrwarr...
Vielen Dank schon einmal für eure Gedankenausführungen! Gott
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

John Stillwell, "Geometry of Surfaces", Springer Universitext, 1992.
Chapter 3. The Sphere
3.1 The Sphere in
3.2 Rotations
3.3 Stereographic Projection
3.4 Inversions and the Complex Coordinate on the Sphere
3.5 Reflections and Rotations as Complex Functions
3.6 The Antipodal Map and the Elliptic Plane
Theorem. The only fixed point free , orientation-reversing isometry such that is the antipodal map

Es sieht also wohl doch so aus, dass die Spiegelung der Sphäre am Mittelpunkt die Orientierung umkehrt. Die Paragraphenüberschriften habe ich erwähnt um deutlich zu machen, dass der Beweis (in diesem Buch) nicht trivial ist.
AnnaNatascha Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, vielen, vielen lieben Dank!

Das ist für mich von der Anschauung her auch intuitiver...
Alle Vektoren werden auf ihr "negatives" abgebildet...dadurch ist die Determinante nagativ.

Wenn ich doch im Gegenzug meine Vektoren entlang der Kreislinie verschiebe werden aus meinen "Einheitsvektoren" die Vektoren (-1/0/0), (0/1/0) und (0/0/-1), das ergibt eine positive Determinante. Und irgendwie klingt es auch "logisch", dass die Drehung erhaltend ist...

Ich glaube so speicher ich das auch erst einmal ab.

Also vielen Dank für die Forschungsarbeit nach dem Buch ;-)
AnnaNatascha Auf diesen Beitrag antworten »

Also der der meinte es ist erhaltend beharrt irgendwie auf seiner Aussage mit der Begründung man müsste sich hier nur die Tangentialvektoren anschauen...
Aber warum sollte das so sein, warum schiebe ich den Normalenvektor beiseite?

Hat jemand vielleicht auch dazu eine Idee?
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