Polynome

19.04.2016, 22:26

Math95

Polynome

Meine Frage:
Guten Abend liebes Forum,

leider komme ich bei meinem Übungsblatt nicht mehr so recht weiter und bräuchte daher jetzt Eure Hilfe. smile

Gleich vorneweg: Die Frage wurde hier kurioserweise gestern schonmal gestellt (http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=567746, ich nehme jetzt mal stark an, gleiche Uni Augenzwinkern

), aber nachdem sich der/die Betreffende nicht mehr gemeldet hat, kam leider keine Diskussion zustande, von der ich auch was hätte mitnehmen können...

Also hier nochmal die Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} f \in K[X] \end{eqnarray*}$ das Polynom $\begin{eqnarray*} f(x)=-x^3+2 \end{eqnarray*}$ . Sei K ein Körper und $\begin{eqnarray*} h \in K[X] \end{eqnarray*}$ vom Grad mindestens 1 und definiere die Abbildung $\begin{eqnarray*} \phi_h: K[X]\to K[X] \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} f\to f(h) \end{eqnarray*}$ .
1. Zeige, dass $\begin{eqnarray*} \phi_h \end{eqnarray*}$ linear und injektiv ist.
2. Sei $\begin{eqnarray*} f\in K[X] \end{eqnarray*}$ . Zeige, dass $\begin{eqnarray*} deg(\phi_h(f))=deg(f)deg(h) \end{eqnarray*}$ .
3. Zeige, dass $\begin{eqnarray*} \phi_h \end{eqnarray*}$ genau dann ein Isomorphismus ist, wenn $\begin{eqnarray*} deg(h)=1 \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Im Moment hänge ich da wirklich, würde das ganze also wirklich gerne mit Euch zusammen erarbeiten smile

zu 3.:
Eigentlich reicht es dann ja zu zeigen, dass deg(h) =1 $\begin{eqnarray*} \phi_h \end{eqnarray*}$ surjektiv macht, da die Linearität und die Injektivität ja schon in 1. gezeigt wurden

19.04.2016, 23:24

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RE: Polynome
Nehmen wir an, $\begin{eqnarray*} deg(h)=1 \end{eqnarray*}$ .
Dann schau dir $\begin{eqnarray*} \phi_h \end{eqnarray*}$ auf dem endlichdimensionalen Unterraum der Polynom an, die höchstens Grad n haben.
Edit: Wozu braucht man den Teil

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} f \in K[X] \end{eqnarray*}$ das Polynom $\begin{eqnarray*} f(x)=-x^3+2 \end{eqnarray*}$ .

19.04.2016, 23:43

Math95

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RE: Polynome

Zitat:

Wozu braucht man den Teil

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} f \in K[X] \end{eqnarray*}$ das Polynom $\begin{eqnarray*} f(x)=-x^3+2 \end{eqnarray*}$ .

Der stand in der Aufgabe so mit dabei, wird aber hauptsächlich eigentlich (meiner Meinung) nach für eine andere, hier nicht aufgeführte Teilaufgabe (Polynom explizit ausrechnen) gebraucht.
Habe den Teil trotzdem mal mit aufgenommen, weil ich mir nicht sicher bin, was dieses $\begin{eqnarray*} \phi_h \end{eqnarray*}$ eigentlich so genau tut. Werde mich da wohl morgen früh wieder ranklemmen, aber bilden wir hier nicht ein Polynom auf ein Polynom ab? h ist ja ein Polynom von Grad größer gleich 1, das wird ja als Argument genutzt, aber was genau liefert denn dann $\begin{eqnarray*} \phi_h \end{eqnarray*}$ ?
Das ist glaube ich schon das erste Problem Erstaunt2

20.04.2016, 00:00

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RE: Polynome
$\begin{eqnarray*} f(h) \end{eqnarray*}$ heißt, setze das Polynom $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ in das Polynom $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ein.
Wenn dir das nicht klar ist, mach ein Beispiel mit dem gegebenen f und $\begin{eqnarray*} h(x)=x+1 \end{eqnarray*}$

20.04.2016, 14:13

Math95

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RE: Polynome
Hallo URL,

bezogen auf dein Beispiel würde sich ja folgendes ergeben:
$\begin{eqnarray*} f(h)=f(x+1)=-(x+1)^3+2=-x^3-3x^2-3x+1 \end{eqnarray*}$
Du meintest aber vorher, dass man die Behauptung nicht für dieses exemplarische f, sondern allgemein zeigen soll.

zu 1.:
Linearität bedeutet:
Seien $\begin{eqnarray*} h,g \in K[X], c\in K \end{eqnarray*}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray*} f(ch+g)=cf(h)+f(g) \end{eqnarray*}$ .
Injektivität:
Seien wieder $\begin{eqnarray*} h,g \in K[X] \end{eqnarray*}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray*} f(h)=f(g) \rightarrow h=g \end{eqnarray*}$ .
Alertnativ: $\begin{eqnarray*} f(h) \mbox{injektiv} \rightarrow ker(f(h))={0} \end{eqnarray*}$ , das heißt h=0.
Wie kann ich das jetzt aber in einen sauberen Beweis verpacken?

zu 2:
Meine Idee:
Seien $\begin{eqnarray*} deg(h), deg(f) \end{eqnarray*}$ beliebig, aber fest. Definiere $\begin{eqnarray*} deg(h)=:n, deg(f)=:m \end{eqnarray*}$
Also kann man f und h wie folgt schreiben:
$\begin{eqnarray*} f=\sum_{k=0}^{m}f_kx^k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h=\sum_{i=0}^nh_ix^i \end{eqnarray*}$
Also ist: $\begin{eqnarray*} \phi_h(f)=\sum_{k=0}^mf_k(\sum_{i=0}^nh_ix^i)^k = \sum_{k=0}^mf_k(\sum_{i=0}^nh_i^kx^{i*k}) \end{eqnarray*}$
Wählt man nun die größtmöglichen Werte in der Summe für i und k, erhält man i=n und k=m und somit als maximalen Exponenten für x i*k=n*m, was ja gerade deg(h)*deg(f) ist.
$\begin{eqnarray*} \rightarrow deg(\phi_h(f))=deg(h)deg(f) \end{eqnarray*}$
Stimmt das so?

Über die 3) denke ich gerade noch nach, möchte aber Obiges schonmal posten smile

20.04.2016, 18:12

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RE: Polynome
Beispiel ist richtig.
Es gibt keinen Sinn nachweisen zu wollen, dass $\begin{eqnarray*} f(ch+g)=cf(h)+f(g) \end{eqnarray*}$ gilt. f ist ein Polynom, wie soll dass linear sein?
Mir scheint, du hast die Abbildung $\begin{eqnarray*} \phi_h \end{eqnarray*}$ noch nicht verstanen. h ist ein festgehaltenes Polynom.
Du sollst zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \phi_h \end{eqnarray*}$ linear und injektiv ist.

20.04.2016, 20:22

Math95

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RE: Polynome
Du hast Recht Hammer

Es soll natürlich am Ende $\begin{eqnarray*} cf(h)+g(h) \end{eqnarray*}$ gelten.

Edit: Mir ist gerade aufgefallen, dass die linke Seite auch nicht so ganz stimmt...

20.04.2016, 20:28

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RE: Polynome
Dann schreib das mal ganz richtig auf.

Dein Vorgehen für 2 stimmt so auch nicht, weil du am Ende allem Anschein nach
$\begin{eqnarray*} (\sum_{i=0}^nh_ix^i)^k = (\sum_{i=0}^nh_i^kx^{i*k}) \end{eqnarray*}$
benutzen willst. Das ist falsch.
Allerdings brauchst du die Gleichheit auch gar nicht, es genügt eine Betrachtung der höchsten vorkommenden Potenz auf der linekn Seite, um die Behauptung zu zeigen.

20.04.2016, 21:00

Math95

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RE: Polynome
Das wäre dann ja $\begin{eqnarray*} (cf+g) (h)=cf(h)+g(h) \end{eqnarray*}$
So sieht die Sache schon viel besser aus, jetzt hab ichs smile

zu 2. Stimmt. Das
$\begin{eqnarray*} h^k_i \end{eqnarray*}$ ist falsch.
Die höchste links vorkommende Potenz ist aber n*m, was ja auch zu zeigen war.

Echt danke, dass du mir da durch geholfen hast.

20.04.2016, 21:12

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RE: Polynome
mit 2 ist die Injektivität jetzt ein Klacks

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