Integral auflösen

19.04.2016, 23:27

Maximi11111

Integral auflösen

Meine Frage:
Hi,

ich habe mal eine Frage in die große Runde. Sitze gerade an meinen Hausaufgaben und stehe gerade vielleicht ein wenig auf dem Schlauch...
Folgendes Integral muss ich auflösen:

\left(\int_{t_{0} }^{t} \! y_{e}*e^{-\lambda (t-s)} \, ds \right) \frac{d}{dt}

Meine Ideen:
Also im Prinzip einmal das Integral nach s bilden und anschließend alles nach der Zeit differenzieren.
Egal, wie ich es drehe und wende, irgendwie komme ich auf keinen grünen Zweig. Wenn ich es richtig sehe, muss ich für die Integration nach s partiell integrieren, bekomme dadurch aber wieder ein Integral und weiß nicht, wie ich das dann nach t ableiten sollte.

Hat einer von euch einen Hinweiß, wie man prinzipiell vorgehen könnte?

Vielen Dank und beste Grüße,
Max

19.04.2016, 23:30

Maximi11111

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Sehe gerade, dass der Latex-Code nicht richtig eingefügt wurde.

$\begin{eqnarray*} \left(\int_{t_{0} }^{t} \! y_{e}*e^{-\lambda (t-s)} \, ds \right) \frac{d}{dt} \end{eqnarray*}$

19.04.2016, 23:34

Maximi11111

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Mist, schon wieder falsch....

Jetzt passt es aber... Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \left(\int_{t_{0} }^{t} \! y_{e}(s)*e^{-\lambda (t-s)} \, ds \right) \frac{d}{dt} \end{eqnarray*}$

19.04.2016, 23:54

Leopold

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Ich vermute, das ist Physiker-Schreibweise. Willst du nach $\begin{align*} t \end{align*}$ ableiten? Dann würde es sich anbieten, die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion zu verwenden, womit du gleich den $\begin{align*} t \end{align*}$ -Teil vors Integral ziehen kannst. Das verbleibende Integral kann nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung abgeleitet werden. Und die Produktregel nicht vergessen.

20.04.2016, 10:34

Maximi11111

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Vielen Dank für deine Antwort, Leopold.

Willst du nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ableiten?
Ja, am Ende soll alles nach der Zeit abgeleitet werden.

Wenn ich nun die Funktionalgleichung anwende, müsste doch folgendes rauskommen:

$\begin{eqnarray*} \left(e^{-\lambda t}*\int_{t_{0} }^{t} \! y_{e}(s)*e^{\lambda s} \, ds \right) \frac{d}{dt} \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun aber das Integral auflösen möchte, muss ich das doch mittels partieller Inegration machen und würde damit doch wieder einen Term mit gleichen Integralgrenzen bekommen oder nicht?

Wie würde dann die zeitliche Ableitung von:

$\begin{eqnarray*} \int_{t_{0} }^{t} \! y_{e}(s)*e^{\lambda s} \, ds \end{eqnarray*}$

aussehen?
Mich stört da ein wenig, dass die Zeit-Variable als obere Integrationsgrenze vorkommt...

20.04.2016, 11:21

klarsoweit

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Siehe dazu den Hinweis von Leopold:

Zitat:

Original von Leopold
Das verbleibende Integral kann nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung abgeleitet werden.

20.04.2016, 11:26

Maximi11111

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Hallo klarsoweit,

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung sagt doch nur aus, dass das Integral von f(x) in den Grenzen von a bis b nichts anderes ist als die Subtraktion der Stammfunktionen, also F(b)-F(a), oder habe ich das falsch verstanden?

Und beim Bilden der Stammfunkton von dem Produkt (partielle Integration) bekomme ich doch erneut ein Integral.

20.04.2016, 11:37

klarsoweit

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Zitat:

Original von Maximi11111
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung sagt doch nur aus, dass das Integral von f(x) in den Grenzen von a bis b nichts anderes ist als die Subtraktion der Stammfunktionen, also F(b)-F(a), oder habe ich das falsch verstanden?

Der Hauptsatz besteht im Prinzip aus 2 Teilen. Interessant ist für diesen Fall der 1. Teil.
Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsatz_der_Analysis

20.04.2016, 12:05

Maximi11111

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Okay, vielleicht habe ich es jetzt verstanden...

Nehmen wir mal nur das Integral:
$\begin{eqnarray*} \left(\int_{t_{0} }^{t} \! y_{e}(s)*e^{\lambda s} \, ds\right) \frac{d}{dt} \end{eqnarray*}$

Jetzt definiere ich:
$\begin{eqnarray*} a(s):=y_{e}(s)*e^{\lambda s} \end{eqnarray*}$

und somit folgt:
$\begin{eqnarray*} \left(\int_{t_{0} }^{t} \! a(s) ds \right) \frac{d}{dt} \end{eqnarray*}$

Integral ganz allgemein auflösen:
$\begin{eqnarray*} \left(A(t)-A(t_{0}) \right) \frac{d}{dt} \end{eqnarray*}$ , wobei A() die zugehörige Stammfunktion ist.

Jetzt nach t differenzieren:
"Der Term $\begin{eqnarray*} A(t_{0}) \end{eqnarray*}$ fällt raus, da er nicht von t abhängig ist und übrig bleibt":

$\begin{eqnarray*} a(t) \end{eqnarray*}$ , was nichts anderes ist als $\begin{eqnarray*} a(s) \end{eqnarray*}$ , nur dass ich jedes $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ durch ein $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ersetze.

Stimmt das soweit?

20.04.2016, 12:38

klarsoweit

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Ja, das ist im Prinzip der Inhalt des Hauptsatzes. Kurz ausgedrückt:
Die Ableitung eines Integrals nach der oberen Grenze ist gleich dem Integranden mit eingesetzter oberer Grenze. smile

20.04.2016, 12:45

Maximi11111

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Juhu...
War ja eigentlich auch nicht so schwer... Augenzwinkern

Vielen Dank für eure Hilfe Gott

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