Alle Untergruppen der Allgemeinen Linearen Gruppe

20.04.2016, 17:30

Landregen

Alle Untergruppen der Allgemeinen Linearen Gruppe

Meine Frage:
Ich soll für eine Arbeit eine Aussage für die endlichen Untergruppen der GL(d,R) also der Allgemeinen Linearen Gruppe für d=2,3 und 4 austesten. Ich habe aber keine Auflistung von allen Gruppen gefunden.

Meine Ideen:
Für d=2 habe ich die Gruppe der SO(2,R) (also speziellen linearen Gruppe) $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und die Gruppe der GO\SO(2,R) (also die orthogonale lineare Gruppe) $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ \sin(\theta) & -\cos(\theta) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Dann hätte ich eine Gruppe mit Spiegelung und eine mit Drehungen und dann gibt es noch die Diedergruppe D4, die eine Drehung und eine Spiegelung besitzt. Gibt es da noch mehr?

Bei d=3 habe ich dann völlig den Überblick verloren. Da habe ich die Drehgruppen (Ikosaeder, Octaeder, Tetraeder,Dieder, und die Zyklische Gruppe). Aber dann gibt es noch Chiro- und Holooktaedergruppe und ich weiß nicht ob es noch Spiegelungsgruppen gibt.

Bei d=4 habe noch nichts, weil ich erstmal die ersten beiden Fääle verstehen möchte.

Ich hoffe jemand kann helfen. Zu Fragen stehe ich gerne bereit!

22.04.2016, 11:48

Elvis

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Das scheint mir ein sehr schwieriges Thema zu sein. Worum geht es in deiner Arbeit ? Welche Literatur kennst Du ?

Du musst zumindest mal den Unterschied zwischen endlichen und unendlichen Untergruppen verstehen. Aus deinem Text wird klar, dass dir dieser Unterschied noch nicht klar ist.

Die google-Suche nach "endliche Untergruppen der reellen allgemeinen linearen Gruppe" führt vielleicht weiter. Meist kommt man bei dieser Frage aber auf die klassischen Lie-Gruppen.

25.04.2016, 11:11

Landregen

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Zitat:

Original von Elvis
Das scheint mir ein sehr schwieriges Thema zu sein. Worum geht es in deiner Arbeit ? Welche Literatur kennst Du ?

Es geht um Orbitpolytope und die werden über die ALG definiert. Ich habe mir ein Buch über Quaternionen von Derek Conway und ein Algebra Buch von Huppert ausgeliehen. Dort geht es zwar über die Untergruppen wird aber nur angeschnitten.

Zitat:

Original von Elvis
Du musst zumindest mal den Unterschied zwischen endlichen und unendlichen Untergruppen verstehen. Aus deinem Text wird klar, dass dir dieser Unterschied noch nicht klar ist.

Ok, ich dachte, dass mir das klar ist. Wo wird das deutlich? Sind die Chiro Gruppen unendlich? Ich habe leider noch nie von denen gehört.

Zitat:

Original von Elvis
Die google-Suche nach "endliche Untergruppen der reellen allgemeinen linearen Gruppe" führt vielleicht weiter. Meist kommt man bei dieser Frage aber auf die klassischen Lie-Gruppen.

Ja, genau. Oder auf "die interessantesten Untergruppen". Aber danke trotzdem erstmal!

25.04.2016, 13:52

Telperion

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Ich bin kein Experte in dem Thema. Ich habe allerdings folgendes gefunden:

Endliche Untergruppen von $\begin{eqnarray*} \operatorname{GL} \left(n,\mathbb R \right) \end{eqnarray*}$ sind zu Untergruppen von $\begin{eqnarray*} \operatorname{O} \left(n, \mathbb R \right) \end{eqnarray*}$ konjugiert.
Dies scheint ein klassisches Resultat zu sein, du solltest es also in Büchern finden können. Außerdem gibt es für $\begin{eqnarray*} \operatorname{GL} \left( 2, \mathbb R \right) \end{eqnarray*}$ Aussagen über die endlichen Gruppen, die aus der Charaktertheorie der $\begin{eqnarray*} \operatorname{GL} \left( 2, \mathbb R \right) \end{eqnarray*}$ kommen. Da würde ich an deiner Stelle auch mal nachschauen.
Ich würde dir im Übrigen auch dringend empfehlen auf Englisch zu googlen, da sich so vermutlich mehr Sachen finden werden.

25.04.2016, 14:27

Elvis

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@Landregen.
Deine Bezeichnungen sind falsch, die unendliche Gruppe SO(2,R) heißt nicht spezielle lineare Gruppe sondern spezielle orthogonale Gruppe, und das Komplement O(2,R)\SO(2,R) ist nicht einmal eine Gruppe, und schon gar keine endliche.

Ich bin auch kein Experte, deshalb kann ich hier nur ein paar (unvollständige) Hinweise geben auf endliche Untergruppen von O(n,R) geben:
O(2,R) enthält alle endlichen zyklischen Gruppen, das sind Drehungen um Winkel $\begin{eqnarray*} \frac {2\pi}n,n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ und vermutlich die Diedergruppen.
O(3,R) enthält endliche zyklische Gruppen, Diedergruppen und vermutlich die 3 Symmetriegruppen der 5 platonischen Körper. (Was sagt denn der Huppert dazu ?)

Von endlichen Untergruppen der O(4,R) habe ich keine Ahnung. Sie muss ja wohl mindestens die endlichen Untergruppen der O(3,R) enthalten.

13.05.2016, 12:19

Landregen

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Zitat:

Original von Telperion
Endliche Untergruppen von $\begin{eqnarray*} \operatorname{GL} \left(n,\mathbb R \right) \end{eqnarray*}$ sind zu Untergruppen von $\begin{eqnarray*} \operatorname{O} \left(n, \mathbb R \right) \end{eqnarray*}$ konjugiert.

Zitat:

Original von Elvis
O(2,R) enthält alle endlichen zyklischen Gruppen, das sind Drehungen um Winkel $\begin{eqnarray*} \frac {2\pi}n,n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ und vermutlich die Diedergruppen.
O(3,R) enthält endliche zyklische Gruppen, Diedergruppen und vermutlich die 3 Symmetriegruppen der 5 platonischen Körper. (Was sagt denn der Huppert dazu ?)

Ah, ich dachte ich hätte schon längst geantwortet und mich bedankt. Ihr beiden konntet mir sehr weiterhelfen. Ich konnte für die ersten beiden Fälle alle Gruppen finden. (Elvis hatte schon fast alle aufgelistet. Es fehlten nur noch die Spiegelungen und die Gruppen aus n = 2 auf drei Dimensionen ausgeweitet.

Bei n = 4 habe ich eine Liste mit sehr vielen Gruppen gefunden. Wenn ich die etwas entschlüsselt habe , kann ich mich ja noch einmal melden, falls es künftige Generationen interessiert.

Nochmals vielen Dank!

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