Die Identität zeigen

21.04.2016, 10:08

Laura92

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Die Identität zeigen

Meine Frage:
Hallo alle zusammen ich habe die folgende Aufgabe:

Beweisen Sie für $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ die Identität

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k+1} }{k}=\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also ich habe mir überlegt es mit der Vollständigen Induktion zu lösen.
Ich habe als Induktionsverankerung A(1) gewählt und kriege

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{2*1} \frac{(-1)^{1+1} }{2}=\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{1+1} \end{eqnarray*}$

auf bedien seiten kommt 1/2 raus. wäre das schonmal richtig ?
wie soll ich den induktionsschritt lösen ?

21.04.2016, 10:12

klarsoweit

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RE: Die Identität zeigen

Zitat:

Original von Laura92
Ich habe als Induktionsverankerung A(1) gewählt und kriege

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{2*1} \frac{(-1)^{1+1} }{2}=\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{1+1} \end{eqnarray*}$

Korrekt ist aber: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{2*1} \frac{(-1)^{k+1} }{k} = \sum\limits_{k=1}^{1} \frac{1}{1+k} \end{eqnarray*}$
Auf beiden Seiten kommt in der Tat 1/2 raus. smile

smile

21.04.2016, 10:18

Laura92

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achja stimmt also so :

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{2*1} \frac{(-1)^{1+1} }{1}+ \frac{(-1)^{3}}{2} =\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{1+1} \end{eqnarray*}$

so müsste es stimmen oder ? smile

smile

Nun wie mache ich den Induktonsschritt ?

21.04.2016, 10:34

Laura92

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für den induktionsschritt habe ich folgendes:

Induktionsschritt: A[n]--->A[n+1]

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{2(n+1)} \frac{(-1)^{k+1}}{k} = \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{(n+1)+k} \end{eqnarray*}$

und weiter ?

21.04.2016, 10:57

klarsoweit

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Forme die linke Seite so um, daß du die Induktionsvoraussetzung verwenden kannst.

21.04.2016, 11:05

Laura92

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Damit ich die Verwenden kann muss ich die linke Seite zu diesem Ausdruck umformen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k+1}}{k} \end{eqnarray*}$

also damit meine ich das in dem Summenzeichen oben eine 2n steht dies bekomme ich wenn ich

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{2n+2} \frac{(-1)^{k+1}}{k} \end{eqnarray*}$

die 2n+2 runter nehme auch wenn das Mathematisch nicht korrekt ausgedrückt ist Big Laugh

Big Laugh

damit oben eine 2n steht muss ich doch die 2 runter nehmen verwirrt

verwirrt

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21.04.2016, 11:14

Laura92

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nein sorry ich muss die 2n+2 runter nehmen und da würde schon 2n stehen..

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k+1}}{k} +2n+2 \end{eqnarray*}$

ich kann jetzt die IV. benutzen und schreiben :

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{2n} \frac{1}{n+k} +2n+2 \end{eqnarray*}$

stimmt das ?

21.04.2016, 11:26

klarsoweit

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Zitat:

Original von Laura92
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k+1}}{k} +2n+2 \end{eqnarray*}$

Das ist leider falsch. Überlege nochmal genau, um welche Summanden sich die Summen $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k+1}}{k} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{2n+2} \frac{(-1)^{k+1}}{k} \end{eqnarray*}$ unterscheiden.

21.04.2016, 11:30

Laura92

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hmm schade :/
naja um n+1
da muss eine n+1 hin stimmts ? also so :

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k+1}}{k} +n+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{2n} \frac{1}{n+k} +n+1 \end{eqnarray*}$

stimmt das jetzt ?

21.04.2016, 11:40

klarsoweit

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Nein, anscheinend hast du noch nicht richtig verstanden, wie mit dem Summensymbol umzugehen ist. Für welche Werte des Laufindex k ergeben sich denn zusätzliche Summanden? Wie sehen diese dann aus?

21.04.2016, 11:51

Laura92

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zusätzliche summanden sind 2n+1 und 2n+2 :

$\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^{2n+2}}{2n+1} +\frac{(-1)^{2n+3}}{2n+2} \end{eqnarray*}$

21.04.2016, 12:02

klarsoweit

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OK. Offensichtlich ist also:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2n+2} \frac{(-1)^{k+1}}{k} = \sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k+1}}{k} + \frac{(-1)^{2n+2}}{2n+1} + \frac{(-1)^{2n+3}}{2n+2} \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du für die Summe auf der rechten Seite die Induktionsvoraussetzung anwenden.

EDIT: der Magen knurrt. Ich bin in 30 Minuten wieder da. smile

smile

21.04.2016, 12:13

Laura92

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ja wenn ich nun IV. anwende kommt :

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{2n} \frac{1}{n+k} +\frac{(-1)^{2n+2}}{2n+1}+\frac{(-1)^{2n+3}}{2n+2} \end{eqnarray*}$

Ich weiß nun nicht wie ich weiter machen soll unglücklich

unglücklich

21.04.2016, 12:55

klarsoweit

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Erst mal muß es korrekterweise heißen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} + \frac{(-1)^{2n+2}}{2n+1} + \frac{(-1)^{2n+3}}{2n+2} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} + \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+2} \end{eqnarray*}$

Mit Blick auf das Ziel (rechts sollte ja am Ende $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{n+1+k} \end{eqnarray*}$ stehen) formen wir nun kreativ um:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} + \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+2} = \sum_{k=2}^{n+2} \frac{1}{n+k} + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+2} + \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+2} \end{eqnarray*}$

Noch ein bißchen zusammenfassen und eine Indexverschiebung und voila ... . smile

smile

25.04.2016, 12:36

Laura92

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Ich verstehe leider nicht wie du auf den letzten schritt kommst. unglücklich

unglücklich

25.04.2016, 12:44

klarsoweit

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Du meinst jetzt die Gleichung $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} = \sum_{k=2}^{n+2} \frac{1}{n+k} + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+2} \end{eqnarray*}$ ?

Da mußt du nur schauen, um welche Summanden sich die Summen $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{n+2} \frac{1}{n+k} \end{eqnarray*}$ unterscheiden. Die fehlenden bzw. überschüssigen Summanden habe ich addiert bzw. subtrahiert.

25.04.2016, 13:05

Laura92

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Ja genau, müsste da nicht die Summe von k=2 bis n+1? das irritiert mich bisschen verwirrt

verwirrt

25.04.2016, 13:10

klarsoweit

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Nein. Ich habe mich (aus gutem Grund) entschieden, die Summe bis n+2 laufen zu lassen. Die Summanden für k=n+1 und k=n+2 habe ich ja auch wieder subtrahiert. smile

smile

25.04.2016, 14:15

Laura92

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Ich glaube ich bin zu dumm für diese Indexverschiebung. Könntest du mit genau sagen wie du das gemacht hast?

25.04.2016, 14:21

HAL 9000

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Zitat:

Original von Laura92
Ich glaube ich bin zu dumm für diese Indexverschiebung.

Hier fand noch gar keine Indexverschiebung statt. klarsoweit hat die Summe um zwei Summanden (für k=n+1 und k=n+2) vergrößert, aber zugleich auch um einen Summanden (den für k=1) reduziert. Damit eine Gleichung draus wird, muss das natürlich durch entsprechenden Terme außerhalb der Summe kompensiert werden - was oben geschehen ist und ausführlich kommentiert wurde.

25.04.2016, 14:32

klarsoweit

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Zitat:

Original von Laura92
Ich glaube ich bin zu dumm für diese Indexverschiebung.

Das mit der Indexverschiebung kommt dann im nächsten Schritt. Die muß man so machen, daß die Summe wieder mit k=1 anfängt.

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