Wahr oder falsch? Integrale multiplizieren

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SoSem Auf diesen Beitrag antworten »
Wahr oder falsch? Integrale multiplizieren
Meine Frage:
Seien monoton wachsend auf . Zeigen oder widerlegen Sie:

Es gilt .

Meine Ideen:
Momentan fehlt mir die große Idee. Wie gehe ich da vor? Zum Multiplizieren von zwei Integralen sind mir keinerlei Sätze o.Ä. bekannt... Wäre toll, wenn mir da jemand eine Idee/Denkanstoß geben könnte, kann ja so schwer nicht sein!
SoSem Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahr oder falsch? Integrale multiplizieren
ich hab meinen Post noch mal durchgelesen, und mir ist aufgefallen, dass man den letzten Satz falsch verstehen kann... Ich meine natürlich nicht, dass es nicht so schwer sein kann, mir zu helfen, sondern dass die Aufgabe nicht so schwer sein kann... Hammer Schlecht formuliert

Bitte nicht falsch verstehen
URL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahr oder falsch? Integrale multiplizieren
Bei solchen offen formulierten Aufgaben lohnt sich oft ein Blick auf besondere Konstellationen.
Wenn z.B. ist, müsste die rechte Seite immer nicht negativ sein...
SoSem Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahr oder falsch? Integrale multiplizieren
Danke für den Tipp, aber ich habe jetzt ewig überlegt, ob ich auf diese Weise ein Gegenbeispiel finde, aber mir fällt nichts ein. Es ist so unangenehm, dass die immer monoton steigend sein müssen Augenzwinkern

Vielleicht ist es ja auch ganz einfach und ich sehe es bloß nicht...??
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Tipp: Aus der Monotonie von folgt .
SoSem Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, ob ich nach einem Gegenbeispiel oder einem Beweis suchen soll... Wie gehe ich da ran? Den Tipp mit der Monotonie versteh ich noch nicht so, was ist der Bezug zur Aufgabe?
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte jetzt eigentlich erwartet: "Wow, so einfach geht der Beweis, wenn man auf diesen Ansatz kommt!"

Aber so ist das halt mit den Erwartungen, die werden nicht immer erfüllt. smile
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Wow, so einfach geht der Beweis, wenn man auf diesen Ansatz kommt!
(Zumal ich dachte, ich hätte ein Gegenbeispiel - wie man an meiner Antwort auch erahnen kann.)

und nicht zu vergessen
Wie kommt man auf diesen Ansatz? Augenzwinkern
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von URL
Wie kommt man auf diesen Ansatz? Augenzwinkern

In diesem Fall: Man hat's schon mal gesehen. Big Laugh
SoSem Auf diesen Beitrag antworten »

Verspottet ihr mich?
Was mich verwirrt hat, dass der Post von URL klar auf ein Gegenbeispiel hingedeutet hat, die Antwort von HAL 9000 dagegen eher auf einen Beweis... Daher auch die Nachfrage, ob jetzt ein Beweis oder ein Gegenbeispiel gesucht ist...

Wie auch immer, euch mag es vielleicht leicht fallen, mir fällt es nicht leicht. Der Ansatz ist ja schön und gut - auch wenn mir nicht klar ist, wie man darauf kommt/warum er gilt, aber wie soll es weitergehen? f(x)-f(y) und g(x)-g(y) erinnern ja an den Zähler des Differenzenquotienten - oder bin ich da völlig auf der falschen Fährte?
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Kein Spott. Ich war selbst auf der falschen Fährte.
Multipliziere den Integranden aus, dann wird es vermutlich klarer.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von SoSem
auch wenn mir nicht klar ist [...] warum er gilt

Zu dieser Frage:

Für ist und , also und und damit im Produkt .

Für ist und , also und und damit im Produkt ebenfalls wieder .

Somit hat das Integral als Integral über eine durchgehend nichtnegative Funktion natürlich auch einen nichtnegativen Wert - soweit erstmal zur Berechtigung dieses Ansatzes als Ausgangspunkt.
SoSem Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, das leuchtet ein.

Zum Beweis: Wenn ich den Integranden ausmultipliziere, dann steht da

Das sieht mit diesen Mischtermen ja nicht gerade schön aus... Wie soll ich denn von da aus irgendwas machen? geschockt Vor allem kann ich da die Form aus der Gleichung, die wir ja am Ende rausbekommen wollen, noch gar nicht erkennen... Selbst wenn man es schaffen würde, das mit den x und y vernünftig zu trennen.. Irgendwas entgeht mir da immer noch! böse
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Additivität des Integrals. Fubini.
SoSem Auf diesen Beitrag antworten »

Ja gut, Additivität ist schon klar, aber ich sehe nicht wie mich das weiterbringt. "Fubini" sagt mir leider nichts, ich hab mir das zwar unter Wikipedia angeschaut, aber wie so oft reicht das nicht, um es wirklich zu verstehen... Überhaupt habe ich (noch) keine Ahnung von mehrdimensionaler Integration...
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von SoSem
Überhaupt habe ich (noch) keine Ahnung von mehrdimensionaler Integration...


Da kommst du aber reichlich spät damit. Dann mußt du dir einen alternativen Ansatz überlegen. Immerhin weißt du jetzt, daß der Satz gilt.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe um ehrlich zu sein nicht, so man hier mehrdimensionale Integration oder Fubini brauchen soll. Das ist auch kein mehrdimensionales Integral, sondern zwei geschachtelte eindimensionale. Kenntnis über mehrdimensionale Integration mag beim Verständnis hilfreich sein, aber alle Regeln, die man hier braucht, sind Regeln aus dem Eindimensionalen, um genau zu sein: Faktorregel und "wie integriere ich eine Konstante", das ist alles. Fubini wäre hier schon eine ziemlich unnötige Kanone.

Kleines Beispiel: In ist in dem inneren Integral konstant, kann daher herausgezogen werden. Man erhält . Jetzt ist das Integral über eine Konstante in dem Integral über , kann also da herausgezogen werden, sodass man erhält.

Die anderen Summanden verhalten sich ganz ähnlich. Mit diesem Beispiel bekommst du sie ja vielleicht doch hin Augenzwinkern
SoSem Auf diesen Beitrag antworten »

@Guppi12: Danke für das Beispiel! Da hätte ich eigentlich auch selbst drauf kommen können... Aber damit ist es natürlich klar!! Danke für den Tipp Freude

Leider kann ich damit

Zitat:
Original von Leopold

Da kommst du aber reichlich spät damit.
nicht so viel anfangen.


Wenn ich das ganze jetzt also ausrechne, dann hab ich auch das (b-a) (weil ich bei den Termen mit nur x/nur y die Stammfunktion von 1 brauche, also x) und auch sonst passt es mit den Termen.
Allerdings hab ich dann halt immer noch x und y vermischt. Kann ich nun einfach sagen, dass man statt f(y) auch f(x) schreiben kann, weil man ja sowieso über [a,b] integriert?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
dass man statt f(y) auch f(x) schreiben kann, weil man ja sowieso über [a,b] integriert?


Du kannst die Variablen, die an das Integral gebunden sind, umbenennen wie du lustig bist Augenzwinkern Es darf nur keine Verwechslungsgefahr bestehen. Ganz am Anfang, wo noch und im Integral vorkommen, darf man natürlich nicht in umbenennen, weil der Bezeichner dort schon vergeben ist.
SoSem Auf diesen Beitrag antworten »

Jo, klar.

Danke für deine Hilfe smile
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