Umkehrbarkeit einer Funktion (mehrdimensional)

21.04.2016, 15:59

.unknown.

Umkehrbarkeit einer Funktion (mehrdimensional)

Meine Frage:
Hallo zusammen.

ich soll zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} f(x, y) = (e^x cos (y), e^x sin (y)) \end{eqnarray*}$ lokal invertierbar ist, aber global keine Umkehrfunktion besitzt.
Wie mache ich das am besten?

Meine Ideen:
ich habe bereis die verschiedenen Ableitungen berechnet:

$\begin{eqnarray*} \frac{df_1}{dx} = e^x cos(y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{df_1}{dy} = -e^x sin(y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{df_2}{dx} = e^x sin(y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{df_2}{dy} = e^x cos(y) \end{eqnarray*}$

Das kann ich jetzt ja als Matrix schreiben und die Determinante berechnen.

$\begin{eqnarray*} det \begin{pmatrix} e^x cos(y) & -e^x sin(y) \\ e^x sin(y) & e^x cos(y) \end{pmatrix} = e^{2x} \end{eqnarray*}$

laut Vorlesung ist die Funktion invertierbar in einem Punkt a, wenn die Determinante der Matrix an diesem Punkt nicht 0 ist.

Jetzt habe ich aber ein Probelm... $\begin{eqnarray*} e^{2x} \end{eqnarray*}$ ist nie null. Was läuft also falsch? ich soll ja zeigen, dass die Funktion nicht global invertierbar ist...
Und wie funktioniert das mit der lokalen Invertierbarkeit?

Danke für eure Hilfe smile

21.04.2016, 17:28

10001000Nick1

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RE: Umkehrbarkeit einer Funktion (mehrdimensional)

Zitat:

Original von .unknown.
Jetzt habe ich aber ein Probelm... $\begin{eqnarray*} e^{2x} \end{eqnarray*}$ ist nie null.

Das ist kein Problem: Die Jacobideterminante sagt dir nur etwas über lokale Invertierbarkeit, nicht aber über globale Invertierbarkeit.
Die Determinante ist überall ungleich 0, also hast du die lokale Invertierbarkeit in jedem Punkt gezeigt.
Das bedeutet: Um jeden Punkt gibt es eine offene Umgebung, sodass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eingeschränkt auf diese Umgebung injektiv ist. (Der Satz von der inversen Funktion sagt noch mehr aus; such die genaue Formulierung mal in deinem Skript.)

Um zu zeigen, dass die Funktion nicht global invertierbar ist, musst du zeigen, dass die Funktion als Abbildung von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ nicht bijektiv ist.

21.04.2016, 19:01

.unknown.

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super danke smile

jetzt macht's sinn

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