Orthogonales Komplement

21.04.2016, 20:38	Cea	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonales Komplement Meine Frage: Hallo zusammen! Ich stehe gerade irgendwie auf dem Schlauch. Es geht mir darum, dass bei Untervektorräumen U,V von einem endlichen Vektorraum gilt [latex] (U + V ) \perp = U \perp \cup V \perp [\latex] Links wären das ja die Vektoren x mit [latex] \langle x, u + v \rangle = 0, u \in U, v \in V [\latex] und rechts die Vektoren x mit [latex] \langle x, u \rangle = 0 \wedge \langle x, v \rangle = 0 [\latex] Man könnte ja meinen, dass daraus die folgt: [latex] \langle x, u \rangle + \langle x, v \rangle = 0 \Rightarrow \langle x, u \rangle = 0 \wedge \langle x, v \rangle = 0 [\latex] Doch dies gilt mE allgemein nicht, oder? Meine Ideen: Gegenbeispiel mit [latex] x = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}, u = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} , v = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} [\latex] Wo ist mein Denkfehler?
21.04.2016, 20:48	RebekkaCea	Auf diesen Beitrag antworten »
Verzeihung für die Latex-Fehler, ich habe mir jetzt mal einen Account zugelegt. Hier nochmal korrekt: Hallo zusammen! Ich stehe gerade irgendwie auf dem Schlauch. Es geht mir darum, dass bei Untervektorräumen U,V von einem endlichen Vektorraum gilt $\begin{eqnarray} (U + V )^\perp = U^\perp \cap V^\perp \end{eqnarray}$ Links wären das ja die Vektoren x mit $\begin{eqnarray} \langle x, u + v \rangle = 0, u \in U, v \in V \end{eqnarray}$ und rechts die Vektoren x mit $\begin{eqnarray} \langle x, u \rangle = 0 \wedge \langle x, v \rangle = 0 \end{eqnarray}$ Man könnte ja meinen, dass daraus die folgt: $\begin{eqnarray} \langle x, u \rangle + \langle x, v \rangle = 0 \Rightarrow \langle x, u \rangle = 0 \wedge \langle x, v \rangle = 0 \end{eqnarray}$ Doch dies gilt mE allgemein nicht, oder? Meine Ideen: Gegenbeispiel mit $\begin{eqnarray} x = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}, u = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} , v = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
21.04.2016, 22:32	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Für diese spezielle Wahl von u,v ist zwar $\begin{eqnarray} \langle x, u \rangle + \langle x, v \rangle = 0 \end{eqnarray}$ Gefordert ist aber doch, dass $\begin{eqnarray} \langle x, u \rangle + \langle x, v \rangle = 0 \end{eqnarray}$ für alle u, v gelten soll
22.04.2016, 14:45	RebekkaCea	Auf diesen Beitrag antworten »
Achja, natürlich! Ich glaub ich hab zu lange drüber nachgedacht und mich selbst verwirrt Vielen Dank!

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