Mehrfachintegral zu berechnen

22.04.2016, 10:45

arni19102

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Mehrfachintegral zu berechnen

Meine Frage:
Hallo ich habe die im Bild dargestellte Aufgabe zu lösen .

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} p*\int_{\frac{-a}{2} }^{\frac{a}{2} } \! \, dx \int_{\frac{-a}{2} }^{\frac{a}{2} } \! \, dy \int_{\frac{-h}{2} }^{\frac{h}{2} }\! x^{2} +y^{2} \, dz \end{eqnarray*}$

Ich habe mir gedacht das sieht so aus ! p( = rho ich fand den Buchstaben im Editor nicht ^^) kann ich vor das Integral Schreiben weil das laut Angabe Konstant ist .
Wegen der Grenzen bin ich mir unsicher , kann es sein das man hier immer Funktionen in Abhängigkeit von f(x,y) für z . für y f(x) und x eine Konstante ?

Wäre cool Wenn mir jemand weiterhilft ! Danke !

22.04.2016, 11:08

HAL 9000

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Wenn man die mathematischen Konvention missachtet, dass das Differential $\begin{align*} \dd x \end{align*}$ usw. den Abschluss des entsprechenden Integrals kennzeichnet, dann ist das weitgehend Ok so - mit Ausnahme der fehlenden aber zwingend notwendigen Klammerung um $\begin{align*} x^2+y^2 \end{align*}$ .

$\begin{align*} \rho_0 \int\limits_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \int\limits_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \int\limits_{-\frac{h}{2}}^{\frac{a}{2}} (x^2+y^2) ~ \dd z ~ \dd y ~ \dd x \end{align*}$

wäre die auch von Mathematikern üblicherweise akzeptierte Form. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von arni19102
Wegen der Grenzen bin ich mir unsicher , kann es sein das man hier immer Funktionen in Abhängigkeit von f(x,y) für z . für y f(x) und x eine Konstante ?

Das hängt von der Form des Körpers ab, über den du da integrierst. Sollte der nicht konvex sein, dann ist nicht mal gewährleistet, dass die x-, y- bzw. z-Integrationsgebiete Intervalle sind. Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.04.2016, 11:34

arni19102

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Hallo Hal 9000 !
Danke für deine Antwort , dann werde ich gleich versuchen dies zu Integrieren .
$\begin{eqnarray*} \int_{\frac{h}{2} }^{\frac{-h}{2} } \! (x^{2} +y^{2} ) \, dz =x^{2}*h +y^{2}*h \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{\frac{a}{2} }^{\frac{-a}{2} } \! (x^{2}*h +y^{2}*h ) \, dy =x^{2}*a*h +\frac{a^{3} }{12}*h \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{\frac{a}{2} }^{\frac{-a}{2} } \! (x^{2}*a*h +\frac{a^{3} }{12}*h) \, dx =\frac{a^{4}*h}{6} \end{eqnarray*}$

Kann das stimmen?

Und wie Komme ich Zur Gesamtmasse? Die Phyiskalische Formel ist dafür $\begin{eqnarray*} M=\frac{P}{V} \end{eqnarray*}$
P..Dichte , V..Volumen . Kann man das einfach so ausrechnen oder ist das wieder irgendwie ein Integral ?

22.04.2016, 11:44

HAL 9000

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Kommt drauf an, ob du ein Quadervolumen auch ohne Integral berechnen kannst. Mit Integral geht es natürlich auch. Big Laugh

Big Laugh

22.04.2016, 11:46

klarsoweit

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Zitat:

Original von arni19102
Und wie Komme ich Zur Gesamtmasse? Die Phyiskalische Formel ist dafür $\begin{eqnarray*} M=\frac{P}{V} \end{eqnarray*}$
P..Dichte , V..Volumen . Kann man das einfach so ausrechnen oder ist das wieder irgendwie ein Integral ?

Erstmal ist $\begin{eqnarray*} M = P \cdot V \end{eqnarray*}$ und außerdem hast du eine konstante Massendichte $\begin{eqnarray*} \rho_0 \end{eqnarray*}$ , die ursprünglich auch mal im Integral stand. Dein Integral liefert also ohne separate Massenberechnung das Trägheitsmoment.

22.04.2016, 11:48

arni19102

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Nun ja $\begin{eqnarray*} V=GF*h=a*a*h=a^{2} *h \end{eqnarray*}$ so hätte ich es Gemacht,Warum kompliziert , wenn es auch einfach geht Big Laugh

Big Laugh

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22.04.2016, 12:05

arni19102

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Hallo klarsoweit :
Danke den Fehler hab ich übersehen ! Dann ist $\begin{eqnarray*} M=P*a^2*h \end{eqnarray*}$
Und Trägheitsmoment $\begin{eqnarray*} J=P*a^4*h/6 \end{eqnarray*}$
Die Konstante P verschwindet ja nicht , ich sehe den Unterschied zwischen J und M als $\begin{eqnarray*} a^2/6 \end{eqnarray*}$

22.04.2016, 12:10

klarsoweit

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Korrekt. (Ich hoffe, die Integrale sind korrekt. Ich habe jedenfalls keinen Fehler gefunden. Aber das muß nicht heißen. Big Laugh

Big Laugh

)

22.04.2016, 12:21

arni19102

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Ok Super ! Danke ich habe das auch hier Verglichen http://th.physik.uni-frankfurt.de/~luedd...Kap7/node5.html

ein bischen runterscrollen findet man einen quader mit seiten a,b und höhe c . Den Asudruck auf gemeinsamen Nenner gebracht und und b=a und c=h ersetzt ergibt genau meinen Ausdruck smile

smile

Ach ja Ich habe noch eine Weitere Aufgabe die mit dieser Aufgabe hier zusammenhängt darf ich diese Hier unter dieser Frage stellen?

22.04.2016, 12:50

klarsoweit

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Gerne. Wenn es direkt mit der Aufgabe zu tun hat, lohnt sich wahrscheinlich kein neuer Thread.

22.04.2016, 13:12

arni19102

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Ok die Aufgabe ist folgende :
Muss ich hier einfach das äuserste Integral verändern , indem ich die Grenzen anders setze
$\begin{eqnarray*} x1=-a/2+L \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x2=a/2 +L \end{eqnarray*}$
und nochmal Integriere ? Das würden dann bis auf das Letzte Integral ganze gleich aussehen .

22.04.2016, 13:18

klarsoweit

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Korrekt.
Eine Kleinigkeit war mir noch aufgefallen: du hast die Integrationsgrenzen vertauscht. Also: die untere Grenze muß nach oben und umgekehrt. smile

smile

22.04.2016, 13:22

arni19102

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$\begin{eqnarray*} \int_{x1}^{x2} \ \, dx \end{eqnarray*}$ ich hätte das so gemeint smile

smile

22.04.2016, 13:23

arni19102

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also die negative nach unten und die positive nach oben so wie es beim vorigen Beispiel war smile

smile

22.04.2016, 13:41

klarsoweit

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Korrekt.

Freude

22.04.2016, 13:45

arni19102

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Ok Super . Ich habe rausbekommen $\begin{eqnarray*} J=po*(\frac{a^{4}*h}{6} +a^{2}*L^{2} *h) \end{eqnarray*}$
dh also J verändert sich um den 2 Faktor im Bezug auf das Vorherige Beispiel .
Ich hoffe ich habe mich nicht verrechent , habt ihr zufällig ein Computerprogramm das dies Ausrechnen und kontrollieren kann für mich ? smile

smile

22.04.2016, 13:56

klarsoweit

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Zitat:

Original von arni19102
dh also J verändert sich um den 2 Faktor im Bezug auf das Vorherige Beispiel .

Hm. Wenn ich das richtig sehe, ist da noch additiv ein Term hinzugekommen.

Zitat:

Original von arni19102
Ich hoffe ich habe mich nicht verrechent , habt ihr zufällig ein Computerprogramm das dies Ausrechnen und kontrollieren kann für mich ? smile

smile

Damit kann ich leider nicht dienen.

22.04.2016, 14:01

arni19102

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So in der Art meinte ich das eigentlich ^^ .
Ok naja ist ja nicht schlimm , falls ich mich verrechnet habe ist das halt so , aber Beispiel hab ich verstanden das ist das was für mich zählt !

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