Aussagenlogik/Boolsche Algebra Problem

22.04.2016, 20:09

Henderson89

Aussagenlogik/Boolsche Algebra Problem

Guten Abend,

ich bin neu hier und hoffe jemand kann mir weiterhelfen. Im Rahmen eines Tutorats gilt eine Aufgabe zu bearbeiten. Leider sitze ich seit mehreren Tagen daran und weiß mir nicht mehr anders zu helfen. Habe die Aufgabe auch schon in anderen Foren gefunden, jedoch gab es da nirgends eine Antwort dazu.

Die Unterhändler von 6 Staaten (A,B,C,D,E,F) treffen sich zu Verhandlungen, mit dem Ziel, dass möglichst viele Staaten abrüsten.
Es wird bekannt:
(1) B und C wollen abrüsten, wenn auch A dazu bereit ist.
(2) A rüstet genau dann ab, wenn sich auch F dazu bereit erklärt.
(3) D und E wollen nur dann abrüsten, wenn B nicht abrüstet.
(4) Entweder rüstet C nicht ab, dafür aber D und F, oder umgekehrt.

Welche Staaten rüsten ab?
Hilfestellung war hierbei, dass man zunächst die sprachlichen Aussagen umformt in Aussagenlogische Terme und dann in Boolsche.
Außerdem sollen die fertigen boolschen Terme dann miteinander multipliziert werden, da alle 4 Ereignisse zur gleichen Zeit stattfinden.
Auch das nach der Vereinfachung der Terme eine 1 übrig bleiben soll ist bekannt.

Mein Ansatz war also folgender:

1. in Aussagenlogik:

Zeichenerklärung:
"=" = Äquivalenz
"-" = Negation

(1) $\begin{eqnarray*} A \Rightarrow (B\wedge C) \end{eqnarray*}$
(2) F <=> A
(3) $\begin{eqnarray*} -B\Rightarrow (D\wedge E) \end{eqnarray*}$
(4) $\begin{eqnarray*} (-C\wedge (D\wedge F)\vee (C\wedge -(D\wedge F))) \end{eqnarray*}$

2. in Boolsche Terme:

(1) - a + ( b * c )
(2) ( - f + a ) * ( - a + f )
(3) - b + ( d * e )
(4) ( - c * ( d * f ) ) + ( c * ( - d * - f ) )

Leider komme ich ab hier nichtmehr weiter. Schon mehrmals multipliziert und vereinfacht, komme ich nicht auf das richtige Ergebnis. Am Vereinfachen kann es eigentlich nicht liegen, da ich es mehrmals ausprobiert habe und auch in einen Online Rechner eingegeben hab, der Boolsche Terme automatisch vereinfacht. Deshalb muss der Fehler irgendwo in meinem Ansatz liegen.

Ich hoffe jemand kann mir hier weiterhelfen.

Danke schonmal und viele Grüße

23.04.2016, 08:51

Huggy

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RE: Aussagenlogik/Boolsche Algebra Problem
Ohne mich sonst mit der Aufgabe befasst zu haben: Die Aussage (4) ist von dir nicht korrekt umgesetzt worden. In ihr wird nicht das gewöhnliche (nicht ausschließende) "oder" verwendet, sonder ein "entweder oder", also das ausschließende oder. Das darf also nicht mit $\begin{eqnarray*} \lor \end{eqnarray*}$ umgesetzt werden.

23.04.2016, 10:21

Henderson89

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okay habe Aussage (4) jetzt geändert.

Gerade habe ich nochmals über das Ergebnis und den Vorgang an sich nachgedacht.
Ist es überhaupt richtig die einzelnen Terme zu multiplizieren?
Und wenn nach dem Vereinfachen das Ergebnis 1 sein soll, weiß man ja im Endeffekt immernoch nicht, welche Staaten abrüsten.*seufz* traurig

23.04.2016, 16:18

Dopap

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Das mit dem "und" ist schon richtig. Bei einem LGS steht ja auch ein "und" zwischen den Gleichungen. Ich hab' mal dein (4) als Antivalenz umgesetzt. Der logische Ausdruck liefert aber zu viele Einsen. Es sollte genau eine Eins sein.

Übrigens : wenn das eine logische Funktion sein soll, dann sind Implikation und Äquivalenz fehl am Platz. Das sind keine Verknüpfungszeichen, sondern Relationszeichen. Verwende Subjunktion und Bijunktion. ( Ist aber noch nicht überall angekommen)

code:

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 A B C D E F1 |  A -> (B & C & (F1 <-> A) & (~B -> (D & E)) & 
                    ((~C & D & F1 & ~(C & ~(D & F1))) v (~(~C & D & F1) & C & ~(D & F1))))
  -------------+--------------------------------------------------------------------------------
  1 1 1 1 1 1  |  0
  1 1 1 1 1 0  |  0
  1 1 1 1 0 1  |  0
  1 1 1 1 0 0  |  0
  1 1 1 0 1 1  |  1
  1 1 1 0 1 0  |  0
  1 1 1 0 0 1  |  1
  1 1 1 0 0 0  |  0
  1 1 0 1 1 1  |  0
  1 1 0 1 1 0  |  0
  1 1 0 1 0 1  |  0
  1 1 0 1 0 0  |  0
  1 1 0 0 1 1  |  0
  1 1 0 0 1 0  |  0
  1 1 0 0 0 1  |  0
  1 1 0 0 0 0  |  0
  1 0 1 1 1 1  |  0
  1 0 1 1 1 0  |  0
  1 0 1 1 0 1  |  0
  1 0 1 1 0 0  |  0
  1 0 1 0 1 1  |  0
  1 0 1 0 1 0  |  0
  1 0 1 0 0 1  |  0
  1 0 1 0 0 0  |  0
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  1 0 0 1 1 0  |  0
  1 0 0 1 0 1  |  0
  1 0 0 1 0 0  |  0
  1 0 0 0 1 1  |  0
  1 0 0 0 1 0  |  0
  1 0 0 0 0 1  |  0
  1 0 0 0 0 0  |  0
  0 1 1 1 1 1  |  1
  0 1 1 1 1 0  |  1
  0 1 1 1 0 1  |  1
  0 1 1 1 0 0  |  1
  0 1 1 0 1 1  |  1
  0 1 1 0 1 0  |  1
  0 1 1 0 0 1  |  1
  0 1 1 0 0 0  |  1
  0 1 0 1 1 1  |  1
  0 1 0 1 1 0  |  1
  0 1 0 1 0 1  |  1
  0 1 0 1 0 0  |  1
  0 1 0 0 1 1  |  1
  0 1 0 0 1 0  |  1
  0 1 0 0 0 1  |  1
  0 1 0 0 0 0  |  1
  0 0 1 1 1 1  |  1
  0 0 1 1 1 0  |  1
  0 0 1 1 0 1  |  1
  0 0 1 1 0 0  |  1
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  0 0 1 0 0 0  |  1
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  0 0 0 1 1 0  |  1
  0 0 0 1 0 1  |  1
  0 0 0 1 0 0  |  1
  0 0 0 0 1 1  |  1
  0 0 0 0 1 0  |  1
  0 0 0 0 0 1  |  1
  0 0 0 0 0 0  |  1

23.04.2016, 19:21

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei genauem Lesen ist mir aufgefallen, dass auch (3) nicht korrekt umgesetzt ist. Wegen des kleinen Wörtchens "nur" ist das keine Implikation, sondern auch ein entweder oder. Und bei der Umsetzung des entweder oder muss man aufpassen. Das bezieht sich bei (3) nicht auf D $\begin{eqnarray*} \land \end{eqnarray*}$ E, sondern sowohl auf D wie auf E. Analoges gilt bei (4). Ich habe (3) und (4) mal so umgesetzt:

$\begin{eqnarray*} (3) \quad (\neg B \rightarrow (D \land E)) \land (B \rightarrow (\neg D \land \neg C)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (3) \quad (\neg C \rightarrow (D \land F)) \land (C \rightarrow (\neg D \land \neg F)) \end{eqnarray*}$

Damit gibt es nur eine Möglichkeit, die Gesamtaussage $\begin{eqnarray*} (1) \land (2) \land (3) \land (4) \end{eqnarray*}$ zu erfüllen.

25.04.2016, 18:54

Henderson89

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okay, habe jetzt mal deine 2 Verbesserungen übernommen. Wenn ich alle 4 Terme mit UND verbinde, erhalte ich (nach einer 64 zeiligen wahrheitstabelle Big Laugh

) nur eine Kombination die den Wert wahr ergibt.

A: f
B: w
C: w
D: f
E: f
F: f

Bei dieser Kombination wird die komplette Aussage wahr. Bedeutet das dann, dass nur die Staaten B und C abrüsten?

Und es müsste doch irgendwie ein schnelleren Weg geben. Für so eine riesige Wahrheitstabelle ist doch in Klausuren keine Zeit?!

edit:
nochmal zu (4): Müsste dann statt der Implikation und zwischen den Klammern nicht auch ein Entweder-Oder stehen? Zeichne ist leider im Editor nicht verfügbar. Benutze dafür mal die Doppelpipes (||)

Also: (4) (~B || (D&F)) || (B || (~D&~F)

Oder habe ich hier einen Denkfehler?

26.04.2016, 07:58

Huggy

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Zitat:

Original von Henderson89
Bei dieser Kombination wird die komplette Aussage wahr. Bedeutet das dann, dass nur die Staaten B und C abrüsten?

Ja.

Zitat:

Und es müsste doch irgendwie ein schnelleren Weg geben. Für so eine riesige Wahrheitstabelle ist doch in Klausuren keine Zeit?!

Nach dem Text der Aufgabenstellung sollte man das vermuten. Mir ist aber kein systematisches Verfahren bekannt, dass hier mit wenig Aufwand zur Lösung führt. Die Überführung in die disjunktive Normalform ist per Hand auch mühsam. Vielleicht habt ihr da in der Vorlesung etwas kennengelernt. Ich wäre mit gesundem Menschenverstand an die Aufgabe herangegangen. In (3) und (4) stehen je 3 Aussagevariablen. Das ergibt je 8 mögliche Belegungen. Das entweder oder ergibt aber nur je 2 zulässige Belegungen. Und nur diese zulässigen Belegungen braucht man bei der Untersuchung von (1) und (2) zu betrachten. Das reduziert den Aufwand deutlich.

Zitat:

nochmal zu (4): Müsste dann statt der Implikation und zwischen den Klammern nicht auch ein Entweder-Oder stehen?

Das enweder oder entspricht einer negierten Äquivalenz. Die kann man auf verschiedene Weisen durch andere Junktoren ausdrücken. Ich habe eine davon gewählt.

26.04.2016, 14:45

Henderson89

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okay, dann vielen Dank für die Hilfe! smile

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