Durch Differentation, Stammfunktion bestimmen

22.04.2016, 20:46	Riemannfan	Auf diesen Beitrag antworten »
Durch Differentation, Stammfunktion bestimmen Meine Frage: Hallo liebe Leute, bräuchte einen kleinen Tipp zu folgender Aufgabe: $\begin{eqnarray} f:x\in [0;1], x-> cos(1/x)+sin(1/x), x\neq 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 0, x=0 \end{eqnarray}$ Nun soll durch Differentation von $\begin{eqnarray} g:x\in [0;1], x->x^2(cos(1/x)-sin(1/x)),x\neq 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 0, x=0 \end{eqnarray}$ gefolgert werden, dass f eine Stammfunktion hat. Meine Ideen: Ich habe g'(x) bestimmt und jetzt schon x Umformungen und Gleichsetzungen versucht. Habe beide Funktionen unterschiedlich oft abgeleitet und jeweils versucht damit etwas gleich zu setzen, um zu formen etc. aber ich komme einfach nicht weiter. Bitte um Hilfe!!! Vielen Dank schonmal!
22.04.2016, 21:54	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} g \end{align}$ ist differenzierbar in $\begin{align} [0,1] \end{align}$ , für $\begin{align} x>0 \end{align}$ ist das gemäß den üblichen Ableitungsregeln klar, für $\begin{align} x=0 \end{align}$ weist man direkt mit dem Differenzenquotienten $\begin{align} g'(0) = 0 \end{align}$ nach. Für $\begin{align} x \in (0,1] \end{align}$ folgert man: $\begin{align} \cos \frac{1}{x} + \sin \frac{1}{x} = g'(x) - \underbrace{2x \left( \cos \frac{1}{x} - \sin \frac{1}{x} \right)}_{h(x)} \end{align}$ $\begin{align} h(x) \end{align}$ ist durch $\begin{align} h(0) = 0 \end{align}$ zu einer stetigen Funktion auf $\begin{align} [0,1] \end{align}$ fortsetzbar und besitzt daher eine Stammfunktion. Die rechte Seite der Gleichung verschwindet für $\begin{align} x=0 \end{align}$ . Wegen $\begin{align} f(0)=0 \end{align}$ gilt daher $\begin{align} f(x) = g'(x) - h(x) \ \ \text{für} \ \ x \in [0,1] \end{align}$

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »