Tangente an parametrisierte Kurve mit zwei Komponenten

23.04.2016, 11:12

lehramtler

Tangente an parametrisierte Kurve mit zwei Komponenten

Hallo, zusammen.

Meine folgende Frage bezieht sich zwar auf eine Geometrie-Vorlesung, aber aufgrund ihres analytischen Charakters stelle ich sie mal in den Analysis-Bereich. Für meine fehlenden LaTex-Kenntnisse entschuldige ich mich jetzt schon mal im Voraus. Augenzwinkern

Und zwar: Eine Tangente an eine Funktion f(x) = ... (z.B. x²) in einem bestimmten Punkt oder allen Punkten zu bestimmen, ist ja kein Problem. Ableiten und y-Achsenabschnitt berechnen - quasi fertig. Was habe ich aber zu tun, wenn eine Funktion (hier genauer gesagt ein Weg bzw. eine parametrisierte Kurve) aus zwei Komponenten besteht?
Prinzipiell sieht das ja dann wie folgt aus: f(x) = (Komponente1, Komponente2). Komponente1 bestimmt ja die x-Werte der Punkte auf der Kurve, Komponente2 die y-Werte auf der Kurve.

Das bedeutet dann aber nicht, dass ich einfach nur Komponente1 ableiten muss (-> Steigung der Tangente) und Komponente2 ist dann der y-Achsenabschnitt, oder? In meiner Aufgabe geht es darum, die Tangente für alle x (mit Ausnahme einer einzigen Definitionslücke) zu bestimmen.

Ich hoffe, mir kann das jemand beantworten. Ich habe den Eindruck, dass das gar nicht so übermäßig schwer sein dürfte, aber nach relativ langer Überlegungszeit bin ich noch immer zu keinem Ergebnis gekommen, das mich wirklich überzeugt hat. Viele Grüße

23.04.2016, 22:57

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RE: Tangente an parametrisierte Kurve mit zwei Komponenten
Für parametrisierte Kurven verwendet man gerne t als Parameter. Das ist motiviert durch die Vorstellung einer Bewegung, die durch die Zeit t parametrisiert wird. Muss man aber nicht machen.

Dann hätte man $\begin{eqnarray*} f(t)=(x(t),y(t)) \end{eqnarray*}$ als Parametrisierung, der Tangentialvektor ist $\begin{eqnarray*} \dot{f}(t)=(\dot{x}(t),\dot{y}(t)) \end{eqnarray*}$ , es wird also komponentenweise abgeleitet.

Bei einer Funktion im gewohnten Sinne ist die Parametrisierung $\begin{eqnarray*} f(t)=(t,y(t)) \end{eqnarray*}$ , der Tangentialvektor ist $\begin{eqnarray*} \dot{f}(t)=(1,\dot{y}(t)) \end{eqnarray*}$ und das ergibt wieder die gewohnte Steigung der Tangente.

24.04.2016, 10:05

lehramtler

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RE: Tangente an parametrisierte Kurve mit zwei Komponenten

Zitat:

Original von URL
Für parametrisierte Kurven verwendet man gerne t als Parameter. Das ist motiviert durch die Vorstellung einer Bewegung, die durch die Zeit t parametrisiert wird. Muss man aber nicht machen.

Dann hätte man $\begin{eqnarray*} f(t)=(x(t),y(t)) \end{eqnarray*}$ als Parametrisierung, der Tangentialvektor ist $\begin{eqnarray*} \dot{f}(t)=(\dot{x}(t),\dot{y}(t)) \end{eqnarray*}$ , es wird also komponentenweise abgeleitet.

Bei einer Funktion im gewohnten Sinne ist die Parametrisierung $\begin{eqnarray*} f(t)=(t,y(t)) \end{eqnarray*}$ , der Tangentialvektor ist $\begin{eqnarray*} \dot{f}(t)=(1,\dot{y}(t)) \end{eqnarray*}$ und das ergibt wieder die gewohnte Steigung der Tangente.

Vielen Dank schon mal für die Antwort.

Bedeutet das dann, dass die Tangentengleichung für alle t dann gegeben ist durch folgenden Ausdruck?
g(t) = (Ableitung der 2. Komponente)*t + (2. Komponente)?

24.04.2016, 18:32

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RE: Tangente an parametrisierte Kurve mit zwei Komponenten
Das wäre es für eine Funktion im gewohnten Sinn. Der Tangentialvektor heißt nicht umsonst so, er beschreibt die Richtung der Tangente in dem Punkt. Also ist die Gleichung der Tangete auch
$\begin{eqnarray*} g(t)=\begin{pmatrix}x(t_0)\\y(t_0)\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}\dot{x}(t_0)\\\dot{y}(t_0)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

24.04.2016, 19:32

lehramtler

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RE: Tangente an parametrisierte Kurve mit zwei Komponenten

Zitat:

Original von URL
Das wäre es für eine Funktion im gewohnten Sinn. Der Tangentialvektor heißt nicht umsonst so, er beschreibt die Richtung der Tangente in dem Punkt. Also ist die Gleichung der Tangete auch
$\begin{eqnarray*} g(t)=\begin{pmatrix}x(t_0)\\y(t_0)\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}\dot{x}(t_0)\\\dot{y}(t_0)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ah, okay. Dann vielen Dank. Freude

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