Extremumsbeweis n-mal stetig differenzierbarer Funktion |
| 23.04.2016, 11:55 | ralohne | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Extremumsbeweis n-mal stetig differenzierbarer Funktion Hallo! Ich soll eine Aufgabe lösen,zu der mir bisher aber irgendwie kein Ansatz einfallen will. "Es seien n>= 2 eine ganze Zahl, I ein offenes Intervall und f: I ->R eine n-mal stetig differenzierbare Funktion. Weiterhin sei a?I ein Punkt mit f'(a)=...=f^(n-1)(a)=0 aber f^(n) ungleich 0. Man beweise a) Wenn n ungerade ist, dann hat f kein lokales Extremumsbeweis bei x=a. b) Wenn n gerade ist und f^(n)(a)>0, dann hat f ein lokales Minimum bei x=a. Meine Ideen: Wie sieht denn so eine Funktion aus? Sie musste doch eigentlich konstant sein. Wie kann dann aber die n-te Ableitung auf einmal ungleich 0 sein? Vielen Dank im Voraus! ralohne |
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| 23.04.2016, 16:24 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Extremumsbeweis n-mal stetig differenzierbarer Funktion
Keineswegs. Gute Beispiele sind z.B. die beiden Polynome und an der Stelle x0 = 0 Beide haben dort den Wert der 1. Ableitung Null, also eine horizontale Tangente. Die 5. Ableitung von ist 120, die 6. Ableitung von gleich 720. Im ersten Fall liegt ein Sattelpunkt (Terrassenpunkt) (Wendepunkt mit horizontaler Wendetangente), im zweiten jedoch ein Tiefpunkt (geradzahlige Ableitung ist positiv) vor. --------- Der Beweis kann mittels des Satzes von Taylor in einer (hinreichend kleinen) Umgebung geführt werden. mY+ |
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| 23.04.2016, 16:33 | ralohne | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Extremumsbeweis n-mal stetig differenzierbarer Funktion Ah, okay. Das hilft mir schon viel weiter. Dann versuche ich es damit mal. Vielen Dank! 
ralohne |
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| 23.04.2016, 16:51 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Siehe dazu auch --> http://www.math.tugraz.at/~ganster/lv_di...wendepunkte.pdf --> https://www.uni-due.de/imperia/md/conten...ik/vmath113.pdf --> http://www2.math.uni-wuppertal.de/~fritz...met/metkap4.pdf |
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| 24.04.2016, 15:28 | ralohne | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mann, Du bist mein Held! 1000 Dank! 
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| 24.04.2016, 18:54 | ralohne | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jetzt ist doch noch ein Problem aufgetaucht. Und zwar soll in diesem Fall ja x=a gelten. Wie bekomme ich das denn "verbastelt"? |
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| 24.04.2016, 19:33 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
kann jede beliebige Zahl sein, im Beispiel war sie gerade In beispielsweise ist und die Reihe wird an entwickelt ... mY+ |
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| 24.04.2016, 19:54 | ralohne | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aber dann fällt ja das Restglied vollständig weg und mir bleibt nur ein Summand mit k=0. Das einzige, was daraus folgt ist dann doch, dass f (a) = f^(n) (a) ist. Übersehe ich da was? Daraus kann ich doch nicht auf Extrema schließen.. 
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| 25.04.2016, 01:50 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mhhm, da bin ich leider momentan überfragt. Vielleicht wäre das an Hand eines Beispiels mal durchzugehen, in Sonderfällen kann natürlich das Restglied verschwinden ... mY+ |
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| 25.04.2016, 21:41 | ralohne | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe meinen Professor per Mail nochmal grfagt, ob die Aufgabenstellung so stimmt. Hier seine Antwort : "...ich glaube, es soll wirklich x=a heißen. Vielleicht wäre es aber etwas besser gewesen, wenn ich immer „f(x) hat ein lokales … bei x=a“ geschrieben hätte, also f(x) statt f. Das Beispiel f(x)=x^n und a=0 zeigt vielleicht ganz gut, welche Behauptung gemeint ist." |
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