Beweis der Dreiecksungleichung

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Shizmo Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis der Dreiecksungleichung
Hallo, ich soll die Dreiecksungleichung für reelle Zahlen beweisen:




Und zwar auf zwei Arten, einmal mit direktem Beweis und einmal mit Fallunterscheidung.

Außerdem weiß ich:

Ok ich fang mal an, reicht es für den direkten Beweis, wenn ich einfach nur umforme?
Also:

{quadrieren}







{ und }

{/2}



Soweit sollte es doch mal passen oder?
Aber damit ist doch noch nichts bewiesen, wie könnte ich weiter machen?
Ein direkter Beweis sollte doch ja eigentlich aus der Form bestehen: P⇒Q. Also ich nehme P an und zeige durch umformen Q. Was ist mein P, was mein Q??

Dann zur Fallunterscheidung, also meiner Meinung nach gibt es 4 Fälle:

1) Dann
2) Dann
3) Dann
4) Dann

Also alle 4 Fälle stimmen und somit bin ich fertig???

LG
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Prinzipiell ist es ein schwerer Beweisfehler, mit der Behauptung zu beginnen und diese umzuformen. Es sei denn ... ja, es sei denn, alle Umformungen sind Äquivalenzumformungen, also umkehrbar. Aber das darf man nicht einfach behaupten, das ist bei jeder einzelnen Umformung zu überprüfen. Und gerade das Quadrieren einer Gleichung oder Ungleichung ist im allgemeinen keine Äquivalenzumformung:





Jetzt sage ich nicht, daß man in deinem Fall nicht quadrieren darf, nur solltest du begründen, warum du es darfst.
Shizmo Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Leopold, vielen Dank für deine Antwort!

Ja weil das Vorzeichen immer positiv werden würde und dann wirds bei einer Ungleichung gefährlich, allerdings, da es vorher im Betrag steht, ist die Zahl sowieso schon positiv und beim Quadrieren passiert nichts.

Okay ich dachte mir schon, dass das so nicht ganz in Ordnung ist, aber wie sollte ich sonst anfangen??

LG
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, du hast den Grund genannt: Wenn die zu quadrierenden Terme keiner negativen Werte fähig sind, dann ist das Quadrieren einer Ungleichung eine Äquivalenzumformung. Auch alle anderen Umformungen sind Äquivalenzumformungen. Zum Beispiel kann man die Subtraktion von durch die Addition von wieder rückgängig machen.

Du hast somit gezeigt (mach bitte Äquivalenzpfeile statt dieses komischen Gleichheitszeichens oder schreibe die einzelnen Ungleichungen untereinander und kommentiere die Rechnung):



Wenn du nun begründen kannst, warum das Letzte wahr ist, dann muß auch das erste wahr sein.
Shizmo Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort, das mit den Pfeilen macht natürlich Sinn smile

Hmm, die Begründung wäre dann durch meine Fallunterscheidung gegeben, denn hier sind alle 4 Fälle aufgelistet und somit sieht man dass

Aber wenn du eine bessere Begründung hast, freue ich mich natürlich drauf smile

Geht meine Fallunterscheidung so durch oder muss ich noch was beachten?? Big Laugh
Shizmo Auf diesen Beitrag antworten »

Keiner mehr eine/n Idee/Tipp?
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »



ist doch klar, weil ja allgemein gilt (Gleichheit, wenn ist, und größer, wenn ist).
Shizmo Auf diesen Beitrag antworten »

Okay danke, wie siehst mit meiner Fallunterscheidung aus, passt die so??
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die stimmt nicht. Nehmen wir ein Beispiel zu 2), nämlich . Du behauptest nun . Das wäre hier , was offensichtlich falsch ist.

Ich glaube, es ist vorteilhafter, die Fallunterscheidung bei vorzunehmen. Da allgemein immer die größere der beiden Zahlen und ist, gilt sowohl als auch (für gilt im konkreten Fall immer einmal das Gleichheitszeichen, das andere Mal das Kleinerzeichen).

1. Fall:

Dann schätzt man ab:



Und wie geht es im zweiten Fall?
Shizmo Auf diesen Beitrag antworten »

Okay stimmt, ich versuchs nochmal:


Fall 1:

Fall 2:

Fall 3:

Fall 4:
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe dir bereits gesagt, aber vielleicht nicht deutlich genug, daß die Fallunterscheidung getrennt nach und nicht funktioniert. In deinem Fall 2 behauptest du: . Das ist aber falsch, wie etwa zeigt: die linke Seite der Gleichung ist dann 3, die rechte jedoch 7.

Es gibt nur zwei Fälle zu untersuchen (siehe meinen letzten Beitrag). Einen habe ich dir vollständig vorgerechnet. Jetzt noch den andern.
Shizmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Ich habe dir bereits gesagt, aber vielleicht nicht deutlich genug, daß die Fallunterscheidung getrennt nach und nicht funktioniert.

Ich versteh nicht ganz, das würde bedeuten man kann nur die Fallunterscheidung machen für , die du ja bereits vorgerechnet hast und für , denn das sollte eigentlich alle anderen Variationen abdecken. Und das ist wiederum Und daraus folgt
Ich weiß nicht, ergibt das Sinn? Habs grad mit verschiedenen Varianten durchprobiert und es scheint zu stimmen, allerdings ist das nicht sehr offensichtlich mMn.
Hmm ich steh wohl auf dem Schlauch traurig
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt zwei Möglichkeiten, aufzulösen, die erste ist , nämlich wenn ist, die zweite ist , nämlich wenn ist. Und in unserem Fall ist , und den ersten Fall habe ich dir bereits vorgerechnet. Jetzt mußt du nur noch den zweiten Fall behandeln. Er geht nicht oder kaum länger als der erste.
Shizmo Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Antwort, sorry dass ich mich erst so spät wieder melde.

Ok, also nochmal:

Fall1: ist positiv, das heißt

Fall2: ist negativ, das heißt

Das sollte doch jetzt dann mal passen oder? Sorry dass ich mich so doof anstelle unglücklich

LG
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde noch einen Zwischenschritt einfügen (rot ergänzt):

Zitat:
Original von Shizmo
Fall2: ist negativ, das heißt


Und die letzte Abschätzung gilt, weil immer ist, egal, ob nun oder ist.
Shizmo Auf diesen Beitrag antworten »

DANKE Wink
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