Normen und Skalarprodukte

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Marvin12354 Auf diesen Beitrag antworten »
Normen und Skalarprodukte
Edit (mY+): Hilfeersuchen aus dem Titel entfernt! Du mögest bitte davon absehen!

Meine Frage:
Hallo Leute!

Ich habe folgende Aufgaben zu lösen und könnte Validierung / Verbesserungsvorschläge gebrauchen:

Betrachen wir den VR (Rn;+; .) über den Körper (R;+; .). Für beliebige
Elemente v und w aus Rn seien folgende Abbildungen {. , .} definiert:

a) {v, w} := v1 * w1
b) {v, w} := max |vi| (1 <= i <= n)
c) ||v|| := max |vi| (1 <= i <= n)

Welche der in (a), (b) angegebenen Abbildungen definiert ein Skalarprodukt und welche nicht? Definiert die in (c) angegebene Abbildung eine Norm?
Beweisen Sie ihre Behauptungen.

Meine Ideen:
Die zu beweisenden Eigenschaften, dass durch eine Abbildung ein Skalarprodukt definiert wird sind so definiert worden:

1. {v,w} = {w,v} Für alle v,w aus Rn
2. {v1+v2, w} = {v1,w} + {v2, w} Für alle v1,v2,w aus Rn
3. {r * v,w} = r*{v,w} für alle v,w aus Rn, r aus R
4. {v,v} >= 0 für alle v aus Rn und {v,v} = 0 <=> v = 0

zu a)
1. {v,w} = v1 * w1 = w1 * v1 (Kommutativgesetz) = {w,v}
2. {v1+v2, w} = (v1 + v2) * w1 = (v1 * w1) + (v2 * w1) = {v1, w1} + {v2, w1}
3. {r * v, w} = (r * v1) * w1 = r * v1 * w1 = r * {v, w}
4.
Fall 1: v > 0:
{v,v} = v * v = v² > 0

Fall 2: v = 0
{v,v} = 0 * 0 = 0² = 0

Fall 3: v < 0:
{v,v} = v * v = v² > 0

Bin ich damit auf dem richtigen Weg? Würde da gerne wissen, ob ich das richtg gemacht habe bzw. woran ich arbeiten kann.

b) habe ich analog zu a) bearbeitet (falls ich Fehler in a) gemacht habe, habe ich sie sicherlich auch in b) gemacht Big Laugh )

c) ist für mich sehr schwierig, vermutlich fehlen mir hier Grundlagen, bin für jede Hilfe (auch in der Form von Links dankbar smile )
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RE: Brauche Hilfe bei Normen und Skalarprodukten
zu a) 1-3 sind ok
Bei 4 schreibst du v>0. Wie soll das im Fall für definiert sein?

zu b) Ist die Abbildung wirklich unabhängig von w?

zu c) hier sind analog die Eigenschaften einer Norm nachzuprüfen. Die da wären..?
Marvin12354 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Brauche Hilfe bei Normen und Skalarprodukten
Hey, danke, fürs schnelle Antworten smile
Ich bin verwirrt über "wie soll das im Fall [...] definiert sein?" - leider weiß ich nicht, was du damit meinst :/
Laut Aufgabenstellung ist die Abbildung in b) unabhängig von w.
Laut Skript sind die Eigenschaften einer Norm
1. ||v|| = 0 <=> v = 0
2. ||r * v|| = |r| * ||v||, r aus R
3. ||v + w|| <= ||v|| + ||w||
Hm, also ich würde dazu sagen:
1.
|| v || := max (|vi|), 1 <= i <= n
max(| vi |) = 0 <=> Für alle vi gilt: vi = 0 (Fehlt hier noch ein Beweis durch Gegenbeispiel o.Ä.?)
2.
||r * v|| = max(|r * vi|) = |r| * max(| vi |) = |r| * ||v||
3.
||v + w|| = max(| vi + wi |)
Dann würde ich ne Fallunterscheidung machen:
Fall 1: vi (oder wi) < 0:
max(| vi + wi|) < max (|vi|) + max(|wi|), weil:
|vi (<0) + wi| < |vi| (>0) + |wi|
Fall 2: vi (oder wi) >= 0:
max(| vi + wi |) = max (| vi |) + max(| wi |)
(weiter weiß ich nicht, muss ich weiter machen? Das wirkt für mich irgendwie klar)
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RE: Brauche Hilfe bei Normen und Skalarprodukten
Sei . Was soll v>0 bedeuten?

Für die Dreiecksungleichung der Norm braucht es keine Fallunterscheidung. Die für alle gültige reelle Dreiecksungleichung ist schon der Schlüssel
Marvin12354 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Brauche Hilfe bei Normen und Skalarprodukten
Ah, jetzt hab ich's auch verstanden.
v > 0 soll bedeuten, dass der Vektor nicht der Nullvektor ist, vielen Dank für den Hinweis smile

Würdest du mir vielleicht auf die Sprünge helfen, wie ich das ohne Fallunterscheidung zeige? Habe mir den Kopf drüber zerbrochen, aber ich glaube immer noch, dass ich die brauche, stehe wohl etwas auf dem Schlauch =/
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RE: Brauche Hilfe bei Normen und Skalarprodukten
ok, dann ein Schritt weiter: Für jedes i gilt
 
 
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