minimale Kreuzungszahl Kleeblattknoten

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AnnaNatascha Auf diesen Beitrag antworten »
minimale Kreuzungszahl Kleeblattknoten
Meine Frage:
Guten Abend an alle!

Es geht um eine Frage zum Kleeblattknoten.

Wir haben ein Korollar aufgestellt, dass der Kleeblattknoten minimale Kreuzungszahl 3 hat.
Begründet werden kann das ja daduch dass der Kleeblattknoten 3-färbbar ist und somit nicht der Unknoten (dieser ist nicht 3-färbbar) und jedes Diagramm mit höchstens 2 Kreuzungen sowieso wieder den Unknoten gibt. Und damit ist die minimale Kreuzungszahl 3.

Anschließend haben wir eine Proposition aufgestellt: Wenn ein Knoten minimale Kreuzungszahl 3 hat, ist es entweder der Kleeblattknoten (oder sein Spiegelbild).

Meine Ideen:
Dass das so ist, ist mir klar...
Wie ich das jetzt beweisen oder zumindest argumentativ beweisen würde ist mir dagegen nicht klar...

Eine Idee war die Folgende: Ich zeichne 3 Kreuzungen in einem Diagramm (dabei gibt es ja rein theoretisch 8 verschiedene Möglichkeiten der Variation mit Unter- und Überkreuzungen oder?). Diese 8 Möglichkeiten ergeben 2 mal den Kleeblattknoten, einmal (rechts- und einmal linshändig) und 6 mal kann man das Diagramm zum Unknoten führen.

Wäre dass dann ein Beweise, oder muss man noch darauf achten was mit was verknüpft wird, also welche Kreuzungen? Theoretisch könnten ja dann nämlich auch Verschlingungen entstehen...

Ich danke euch schon einmal für jeden Tipp, denn ich habe diese Frage auch schon in mehreren Büchern gefunden, aber leider nie mit Antwort...

Dankeschön!
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