Lebesguedichte nachweisen

24.04.2016, 00:06	Shalec	Auf diesen Beitrag antworten »
Lebesguedichte nachweisen Hallo allerseits, ich habe eine Funktion gegeben, zu der ich noch nachweisen muss, dass das Integral über Omega =1 ist. D.h. ich muss nachweisen, dass: $\begin{eqnarray} \int_\Omega f_\rho(x,y) dxdy =1 \end{eqnarray}$ . Dazu nun das Setting: $\begin{eqnarray} \Omega =\mathbb{R}^2,\ \rho\in (-1,1)\ und <br /> f_\rho (x,y) = \frac{1}{2\pi\sqrt{1-\rho^2}}\cdot exp\left( -\frac{x^2-2\rho xy+ y^2}{2(1-\rho^2)} \right) \end{eqnarray}$ Zur Hilfe steht mir ein Lemma aus der Vorlesung: Sei $\begin{eqnarray} f:\ \mathbb{R}^2\to (0,\infty) \end{eqnarray}$ gegeben, durch $\begin{eqnarray} f(x,y) = exp\left( -\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2} \right) \end{eqnarray}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) dxdy = \left[ \int_{-\infty}^{\infty} exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2} \right) dx\right]^2 = 2\pi\sigma^2 \end{eqnarray}$ Im Beweis für diese Identität wurde $\begin{eqnarray} x= r\cos\phi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y= r\sin\phi \end{eqnarray}$ ersetzt. Dann über die "bivariate Substitutionsregel der Integralrechnung" integriert. (Dazu muss ich sagen: Bislang sind für diesen Kurs nur Riemannintegrale durch andere Vorlesungen bekannt und das Lebesgueintegral kurz eingeführt worden. Da es ein Kurs für Vollfach, wie für Lehramt ist, und die Lehramtler kein Ana3/4 belegen müssen, ist denen das komplette Lebesgue-Integrationskonzept unbekannt.) Nun habe ich auch mal den Trick aus der VL versucht, aber ich bekomme die Funktion nicht auf die Form für das Lemma. Mir ist die Integrationsregel wohl bekannt, liegt aber in der Anwendung ca. 4 Jahre zurück. Hat jemand einen Tipp, was hier hilft? Viele Grüße
24.04.2016, 09:07	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie so oft hilft der alte Babylonier-Trick: quadratische Ergänzung. $\begin{align} x^2 - 2 \varrho xy + y^2 = \left( x - \varrho y \right)^2 + \left( 1 - \varrho^2 \right) y^2 \end{align}$ Jetzt führt man neue Variablen $\begin{align} u,v \end{align}$ durch eine lineare Substitution ein: $\begin{align} x - \varrho y = u \, , \ \ \sqrt{1 - \varrho^2} \cdot y = v \end{align}$ Aufgelöst nach $\begin{align} x,y \end{align}$ wäre das $\begin{align} x = u + \frac{\varrho}{\sqrt{1 - \varrho^2}} \cdot v \, , \ \ y = \frac{1}{\sqrt{1 - \varrho^2}} \cdot v \end{align}$ $\begin{align} \dd (x,y) = \frac{1}{\sqrt{1 - \varrho^2}} ~ \dd (u,v) \end{align}$ Die lineare Substitution ist bijektiv und bildet den $\begin{align} \mathbb{R}^2 \end{align}$ auf den $\begin{align} \mathbb{R}^2 \end{align}$ ab. Das Integrationsgebiet ändert sich also nicht.
24.04.2016, 14:35	Shalec	Auf diesen Beitrag antworten »
Dankeschön lieber Leopold! An den ersten Schritt hatte ich auch gedacht, aber das brachte mir an dieser Stelle leider keine direkte Verbesserung. Vielleicht war es auch einfach zu spät

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