Funktionenfolge Integrierbarkeit

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Königsinder Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionenfolge Integrierbarkeit
Meine Frage:
Betrachten Sie die Funktionen

a) Zeigen Sie, dass Riemann integrierbar ist und berechnen Sie das Integral

b) Zeigen Sie, dass punktweise gegen eine Funktion f konvergiert und bestimmen Sie f.

c) Zeigen Sie, dass f Riemann integrierbar ist und weisen Sie nach, dass gilt.

d) Sei eine stetige Funktion. Berechnen Sie .


Meine Ideen:
Also.

Bei a) würde ich einfach sagen, die Funktionen sind offensichtlich stückweise stetig, und deshalb Riemann-integrierbar. Reicht das als Begründung so aus/stimmt das? Das Integral ergibt sich ja nur aus dem Bereich mit n, also 1/n*n = 1. Oder entgeht mir da was?

Bei b): Schwierig. Die Abschnitte, wo die Funktion nicht 0 ist, werden ja immer kleiner, die Funktionswerte dafür immer größer. Aber wie schreibt man das als Funktion f?

Bitte um Rückmeldung/Hilfe!

Danke smile
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

a) ist richtig.

Zu b) Nimm dir ein festes x her und überlege dir, wogegen fn(x) konvergiert. Betrachte die Funktion nicht als Ganzes, sondern nur einen festen Wert. Eine Fallunterscheidung könnte hilfreich sein.

Zu d) Mittelwertsatz der Integralrechnung (wäre eine Möglichkeit).
Königsinder Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, für nichtpositive x und für x>1/n ist es ja sowieso 0.

Sagen wir also z.B. x=1/4. Für n=1 kommt dann 1 heraus, für n=2 kommt 2 heraus usw. bis n=5, da haben wir dann wieder 0.

Insgesamt könnte man also sagen, für n<=1/x kommt jeweils n heraus, für n>1/x dann 0.

Was sagt uns das für die Konvergenz? Letztendlich wird es ja immer irgendwann 0, aber vorher steigt es ja an... wie schreibt man sowas als Funktion? Evtl. für x<=1/x und 0 sonst? Oder hab ich mich da jetzt vertan?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Was für die ersten endlich viele n passiert, interessiert doch überhaupt nicht, wenn es nur um den Grenzwert geht. Der Grenzwert hängt doch nicht von n ab.

Du hast ja bereits festgestellt, dass für jedes gilt, wenn nur genügend groß ist. Dass heißt für festes sieht die Folge so aus . Wogegen konvergiert diese Folge denn?
Königsinder Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, da 1/n ja irgendwann immer kleiner wird als x, wäre f ja dann einfach die Nullfunktion...
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig.
 
 
Königsinder Auf diesen Beitrag antworten »

Ich war nur verwundert, weil wenn f die Nullfunktion ist, dann ist bei c) ja nicht gerade viel zu zeigen, oder? Die Nullfunktion ist natürlich Riemann-integrierbar, das Integral ist 0, natürlich auch das Integral vom limes, und der limes vom Integral ist natürlich nicht 0, sonder 1, weil ja das integral aus a) 1 ergibt und 1 ja nicht von n abhängt. Stimmt das dann so?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, stimmt so.
Königsinder Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann fehlt nur noch d). Diesen Mittelwertsatz kenne ich leider (noch) nicht, da werde ich mir wohl einen anderen Ansatz überlegen müssen.

Wenn ich so darüber nachdenke, müsste aber doch einfach Phi(x) herauskommen, oder? Denn wir haben ja im Prinzip wieder die Rechnung 1/n*n*Phi(x)... Der Limes hat dann ja keinen Einfluss, da das Integral nicht von n abhängt...
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

ist eine an das Integral gebundene Variable. Der Ausdruck macht außerhalb des Integrals garkeinen Sinn. Was genau meinst du damit also?
Königsinder Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, ich meine natürlich Phi an der Stelle, wo fn(x) ungleich Null ist... Wobei sich mir jetzt doch die Frage stellt, wie ich mit dem limes da umgehen soll - wie wirkt sich der auf das Integral aus? Bei der Teilaufgabe tappe ich irgendwie ziemlich im Dunkeln. Kannst du mich da auf die richtige Spur bringen?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem ist, dass du, um etwas beweisen zu können, erstmal eine Idee brauchst, was da überhaupt rauskommen könnte. Sonst weißt du ja garnicht, in welche Richtung du denken solltest. Wenn ich dir das allerdings einfach vorsage, würde ich dich um deinen Lernerfolg bei der Aufgabe bringen.

Probiere es doch mal mit ein paar Funktionen aus, was da rauskommt. Zum Beispiel, wenn eine Polynomfunktion ist. Versuche zusätzlich mit ein bisschen Logik an die Sache heranzugehen. Kann das, was da herauskommt zum Beispiel davon abhängen, wie die Funktion bei aussieht? Was ist mit ? Du musst ins Denken kommen, nur so lernst du es Augenzwinkern
Königsinder Auf diesen Beitrag antworten »

Der einzige Funktionswert ungleich Null, den fn annehmen kann, ist doch n. Wenn ich nun Phi(x) mit n multipliziere, hab ich das Integral von n*Phi(x), allerdings nur auf einer "Breite" von 1/n. Der restliche Bereich wird ja einfach Null. Dann würde doch herauskommen. Da n gegen unendlich geht, ergäbe das doch dann 0??? Stimmt diese gewagte Theorie oder hab ich irgendwo Denkfehler?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Stimmt diese gewagte Theorie oder hab ich irgendwo Denkfehler?


Einen Denkfehler nicht, du hast nur den Faktor vergessen, den du hier:
Zitat:
hab ich das Integral von n*Phi(x)


noch erwähnt hast.
Königsinder Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, den hab ich unterwegs vergessen! Dann also Das ist jetzt natürlich ungünstig, weil ich jetzt ja quasi "" dastehen habe. Kann ich da in dem Fall überhaupt eine Aussage treffen?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, kannst du. Hast du mal ein paar Beispiele ausgerechnet, wie ich vorgeschlagen hatte?

Edit: Mir ist übrigens noch ein anderer Weg eingefallen, der zum Beweis nicht braucht, dass man schon eine Idee hat, was rauskommen sollte. Dafür braucht man allerdings den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Kannst du diesen verwenden? (Zusätzlich wäre das eine Kanone, die man hier eigentlich nicht braucht, aber das macht ja nichts.)
Königsinder Auf diesen Beitrag antworten »

Beispiele habe ich ausgerechnet und es kommt "eher 0 als unendlich" raus, aber eine klare Aussage kann ich irgendwie nicht formulieren...

den Hauptsatz könnte ich verwenden
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann gehen wir doch erstmal den Weg mit dem Hauptsatz, wenn du garkeine Idee hast, was da rauskommen könnte. Dann nimm dir mal eine beliebige Stammfunktion von und rechne damit weiter.
Königsinder Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry dass ich jetzt wieder in die andere Richtung gehe, aber durch die Beispiele hab ich jetzt doch eine Idee was rauskommen könnte, nämlich . Stimmt das? Und wenn ja, ist natürlich noch die Frage, wie man das beweist. Denn direkt aus kann man das doch nicht folgern?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

ist richtig. Um zu zeigen, dass das stimmt, nimm dir ein beliebiges und nutze die Stetigkeit, um zu zeigen, dass dann gibt, sodass für gilt: .
Königsinder Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe absolut keine Idee, wie man das zeigen könnte, wie hilft einem die Stetigkeit da weiter? Das Integral müsste man doch sicher auch irgendwie auflösen?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Was gibt uns denn die Stetigkeit zu diesem gemäß Definition?
Königsinder Auf diesen Beitrag antworten »

Ein , sodass für alle x aus [-1,1] mit gilt:
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, jetzt speziell für ist das äquivalent zu , falls . Kommst du damit weiter?
Königsinder Auf diesen Beitrag antworten »

Aha, das ist eine clevere Umformung!
Wenn man darüber nachdenkt, müsste doch eigentlich genau entsprechen, schließlich berechnet sich die Fläche doch dann mit 1/n*n*Phi(x) (das ganze dann eben in Abhängigkeit von x)?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nicht, was du meinst. Dieser Ausdruck kann nicht von abhängen. Das ist eine konstante Zahl (die von abhängt, ok).
Königsinder Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so wie es dasteht, ist es natürlich Quatsch. Was ich meinte, ist nur, dass sich die Multiplikation mit n und die Integration von 0 bis 1/n ja quasi gegenseitig "aufheben".
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst formal argumentieren. Wie hilft dir die Ungleichung , falls weiter, um ein mit den obigen Eigenschaften zu finden?
Königsinder Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme nicht darauf, wie ich das direkt formal nutzen könnte.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Es wäre doch vielleicht von Vorteil, diese Ungleichung im Integral benutzen zu können. Nun geht das aber nicht ohne weiteres, denn sie gilt ja nur, wenn . Kann man da vielleicht was machen? Gilt sie vielleicht unter bestimmten Bedingungen doch?
Königsinder Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß leider nicht, worauf du hinauswillst... Was meinst du damit, die Ungleichung "im Integral zu benutzen"?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Damit meine ich natürlich, dass man

abschätzen kann. Ich dachte, das sei unmissverständlich. Das würde doch sofort zu einer Ungleichung der Art führen, die du brauchst, um die Konvergenz zu zeigen.

Jetzt überlege dir unter welchen Bedingungen diese Ungleichung im Integral benutzt werden kann.
Königsinder Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, wie du gesagt hast, sie gilt halt nur für x kleiner Delta... Vielleicht könnte man das ausgleichen, indem man n groß genug wählt...? Ansonsten fällt mir wirklich nichts ein...
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Idee ist richtig. Wie groß müssen wir denn wählen?

Wenn du das hast, kannst du die Integrale ganz links und ganz rechts ausrechnen?
Königsinder Auf diesen Beitrag antworten »

Die Integrale lins und rechts sind doch einfach die gewünschten .

?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau.

Und nun schließe daraus die gewünschte Konvergenz.
Königsinder Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja, damit hätten wir ja ein gefunden, sodass für n\geq n_{0} die Ungleichung gilt. Damit wäre die Behauptung ja bewiesen.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber ist dir klar, dass die Behauptung aus der Ungleichung folgt?
Königsinder Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke schon... Wir haben das Integral so dicht eingeschränkt, dass es Phi(0) sein muss. Das wollten wir ja zeigen.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, es fehlt irgendwie ein formales Argument.

Die Ungleichung ist äquivalent zu für .

Das sollte dir bekannt vorkommen, wenn du an Folgenkonvergenz denkst.
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